Enunciado

27. Considere o problema de valor inicial

y ' = t y 4   –   y 3

y 0 = y 0

(a) Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta.(b) Suponha que y0 = 0,5. Encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,98.

Passo 1

Temos aqui o iniciozinho de equações diferenciais, e para resolver essa equação vamos precisar usar um método poderoso de resolução de equações. O método de Separação de Variáveis. O próprio nome já dá spoiler de como funciona. Vamos separar as variáveis, tudo que for x fica de um lado, tudo que for y fica do outro.

Passo 2

No caso de

y ' =   t y 4   –   y 3

Podemos fazer o seguinte

d y d t =   t y 4   –   y 3

1 y 4   –   y d y = t 3 d t  

Antes de integrar nos dois lados, vamos precisar fazer um truque antes no termo da esquerda, afinal não temos uma primitiva obvia para

1 y 4   –   y

Então vamos separar essa fração em outras mais fáceis.

1 y 4   –   y → 1 4 y - 1 4 y - 4

Beleza, agora podemos integrar

Passo 3

1 4 y - 1 4 y - 4   =   t 3 d t    

1 4 ln ⁡ y - 1 4 ln ⁡ y - 4   = t 2 6 + C

Não podemos esquecer da nossa constante arbitraria, ela é muito importante!!!!     Podemos ajeitar um pouquinho essa equação usando as propriedades de log

1 4 l n   y y - 4   = t 2 6 + C

y y - 4 = e 4 t 2 6 + C

Agora vamos isolar o y

y =   - 4 e 4 t 2 6 + C e 4 t 2 6 + C - 1  

y =   - 4 1 - e - 4 t 2 6 + C

Passo 4

Vamos achar o valor de C agora, usando os dados de contorno

y 0 = y 0

Podemos usar uma equação mais simples para achar C

1 4 l n   y y - 4   = t 2 6 + C

1 4 l n   y 0 y 0 - 4   = C

Prontinho, conseguimos achar C!!!! Dessa forma nossa função fica

y =   - 4 1 - e - 4 t 2 6 + 1 4 l n   y 0 y 0 - 4  

Passo 5

Vamos descobrir o que acontece com essa equação conforme t fica grandão

lim t → ∞ ⁡ - 4 1 - e - 4 t 2 6 + 1 4 l n   y 0 y 0 - 4   ⁡

Ficou uma equação enorme, podemos resumir ela a algo mais claro, por exemplo o termo

e - 4 t 2 6 + 1 4 l n   y 0 y 0 - 4   → e - t 2

Afinal quando t for muito grande os outros termos não importarão. 😉Então nossa analise fica

lim t → ∞ ⁡ - 4 1 - e - 4 t 2 6 + 1 4 l n   y 0 y 0 - 4   → lim t → ∞ ⁡ - 4 1 - e - t 2

Conforme t cresce a expressão e - t 2 se aproxima de zero, logo no infinito podemos esse termo, assim :

lim t → ∞ ⁡ - 4 1 - e - t 2 =   - 4  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

a ) lim t → ∞ ⁡ - 4 1 - e - 4 t 2 6 + 1 4 ln  y 0 y 0 - 4   ⁡ =   - 4

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