Enunciado

A população mundial era cerca de 5,3 bilhões em 1990 . A taxa de natalidade na década de 1990 variou entre 35 e 40 milhões por ano, e a taxa de mortalidade variou entre 15 e 20 milhões por ano. Vamos supor que a capacidade de suporte para a população mundial seja de 100 bilhões.

(a) Escreva uma equação diferencial logística para esses dados. (Como a população inicial é pequena comparada à capacidade de suporte, você pode tomar k como uma estimativa da taxa de crescimento relativo inicial.)

(b) Utilize o modelo logístico para prever a população mundial em 2000 e compare a população real de 6,1 bilhões.

(c) Use o modelo logístico para prever a população mundial nos anos 2100 e 2500 .

(d) Quais seriam as suas previsões se a capacidade de suporte fosse de 50 bilhões.

Passo 1

(a) Beleza, galera? Nosso contexto aqui é o crescimento da população humana. Vamos ter que escrever uma equação diferencial logística que corresponda aos dados que o enunciado nos deu, da seguinte forma:

d P d t = k P 1 - P K

Para isso, precisamos dos valores das constantes. Já sabemos que a capacidade de suporte K é 100 bilhões de pessoas. Vamos tomar P   em bilhões e t em anos a partir de 1990 , beleza? Então:

K = 100

Passo 2

Agora, como calcular a constante k ? Bom, já nos foi dada uma dica: k deve ser uma estimativa da taxa de crescimento relativo inicial! Vamo lá?

k ≈ t a x a   d e   c r e s c i m e n t o   r e l a t i v o   i n i c i a l = t a x a   d e   c r e s c i m e n t o   i n i c i a l p o p u l a ç ã o   i n i c i a l

k ≈ t a x a   d e   n a t a l i d a d e   i n i c i a l - t a x a   d e   m o r t a l i d a d e   i n i c i a l p o p u l a ç ã o   i n i c i a l

Como as taxas de natalidade e mortalidade variaram, podemos tomar a média dos valores, lembrando que temos que converter os números para bilhões quando se trata de pessoas, beleza?

k ≈ 37,5   .   10 - 3 - 17,5   .   10 - 3 5,3

k ≈ 1 265

Show! Nossa equação logística fica assim:

d P d t = 1 265 P 1 - P 100

Passo 3

(b) Bom, o modelo logístico nos dá a seguinte expressão para P t :

P t = K 1 + C e - k t     ,       C = K - P 0 P 0

Usando as constantes que estimamos no item anterior, temos:

C = 100 - 5,3 5,3 ≈ 17,87

P t = 100 1 + 17,87   e - t 265

Agora podemos prever a população em 2000 ,   10   anos depois de 1990 :

P 10 = 100 1 + 17,87   e - 10 265 ≈ 5,49   b i l h õ e s   d e   p e s s o a s

A população real foi de 6,1 bilhões de pessoas, um pouco acima do esperado.

Passo 4

(c) Bora fazer mais previsões! Pra 2100:

P 110 = 100 1 + 17,87   e - 110 265 ≈ 7,81   b i l h õ e s  

Agora pra 2500:

P 510 = 100 1 + 17,87   e - 510 265 ≈ 27,72   b i l h õ e s  

Passo 5

(d) O modelo logístico nos dá:

P t = K 1 + C e - k t     ,       C = K - P 0 P 0

Mas agora K = 50 , então:

C = 50 - 5,3 5,3 ≈ 8,43

P t = 50 1 + 8,43   e - k t

Agora é só substituir os valores de t = 10 ,   110 e 510 na função acima para obter a nova previsão da população nos anos de 2000 ,   2100 e 2500 respectivamente, ok?

P 10 ≈ 5,48   b i l h õ e s  

P 110 ≈ 7,61   b i l h õ e s  

P 510 ≈ 22,41   b i l h õ e s  

Resposta

(a) d P d t = 1 265 P 1 - P 100

(b) 5,49   b i l h õ e s  

(c)   7,81   b i l h õ e s  

  27,72   b i l h õ e s

(d) 2000 :     5,48   b i l h õ e s

2100 :     7,61   b i l h õ e s

            2500 :     22,41   b i l h õ e s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma equação integral é uma equação que contém uma função desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a determinada equação integral. [Dica: Use uma condição inicial obtida da equação in
(a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direção para a equação diferencial. Imprima e use-o para esboçar algumas curvas de solução sem resolver aequação diferencial.(b) Re
Encontre a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada. y ' = x ys e nx y + 1y 0 = 1
Homeostase refere-se a um estado em que o teor de nutrientes de um consumidor é independente do teor de nutrientes de seu alimento. Na ausência de homeostase, um modelo sugerido por Sterner e Elser é
Uma equação integral é uma equação que contém uma função desconhecida y(x) e uma integral que envolve y(x). Resolva a determinada equação integral. [Dica: Use uma condição inicial obtida da equação in