Enunciado

Para um valor fixo de K (digamos K = 10 ), a família de funções logísticas dada pela Equação 7 depende do valor inicial P 0 e da constante de proporcionalidade k . Trace vários membros dessa família. Como muda o gráfico quando P 0 varia? Como muda o gráfico quando k varia?

Passo 1

Beleza, galera? Primeiro, vamos ver como é essa família de funções logísticas de quem o enunciado fala:

P t = K 1 + C e - k t   ,       C = K - P 0 P 0

Vamos fazer K = 10 , de forma que nossa família de funções vai ser da seguinte forma:

P t = 10 1 + 10 - P 0 P 0 e - k t

Passo 2

Agora, bora ver como o gráfico muda quando P 0 varia? Pra isso, vamos deixar o valor de k = 1 fixo, beleza?

À medida que P 0   aumenta, os gráficos começam em pontos cada vez mais altos, pois P 0 = P 0 . Repare que se 0 < P 0 < K = 10 , os gráficos são crescentes, e se P 0 > K , são decrescentes.

No final das contas, todas as soluções acabam crescendo ou decrescendo para P = K = 10 , né mesmo?

Passo 3

Agora vamos deixar o valor de P 0 = 1 fixo, pra gente ver como o gráfico muda quando k varia, pode ser?

Lembre-se que quanto maior o valor de k , maior é a taxa de crescimento inicial relativo 1 P 0 d P d t   , então maior é a inclinação da curva no início. Repare que maiores valores de k , portanto, fazem com que a curva tenda mais rápido à solução de equilíbrio P = K = 10 .

Veja que a curva mais “baixa”, a que começa com menor inclinação (mais horizontal), feita a partir do menor valor de k , é a que mais demora pra se aproximar de 10 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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