Enunciado

Considere o problema de valor inicial y ' = 1 - y 2 ,   y 0 = 0 .

(a) Mostre que y = sen x é a solução desse problema de valor inicial.

(b) Procure uma solução do problema de valor inicial em forma de série de potências em torno

de x = 0. Encontre os coeficientes dessa série até o termo contendo x³.

Passo 1

Tá legal! Para fazer a letra (a), vamos tomar o problema de valor inicial dado:

y ' = 1 - y 2

Agora, vamos dividir ambos os lados por 1 - y 2 :

y ' 1 - y 2 = 1

E, sabendo que y ' = d y / d x , podemos escrever:

d y d x 1 - y 2 = 1 → d y 1 - y 2 = d x

Agora vamos integrar essa expressão dos dois lados, obtendo:

∫ d y 1 - y 2 = ∫ d x → arcsen ⁡ y = x + c → y = sen ⁡ x + c

Agora, vamos utilizar a condição de contorno fornecida no enunciado, onde y 0 = 0 , então, temos:

y = sen ⁡ ( x + c ) → 0 = s e n 0 + c → c = n π ,   n = 0,1 , 2 …

Então, tomando c = 0 , obtemos exatamente a solução apresentada no item (a):

y = sen ⁡ x

Passo 2

Agora para a letra (b), vamos considerar a expansão da função y = sen ⁡ x em torno de x = 0 , então, teremos:

y x = sen ⁡ x → y 0 = 0

y ' x = cos ⁡ x → y ' 0 = 1

y ' ' x = - sen ⁡ x → y ' ' 0 = 0

y ' ' ' x = - cos ⁡ x → y ' ' ' 0 = - 1

Então, a solução do problema ao redor de x = 0 em forma de série de potências será:

y x = y 0 + y ' 0 1 ! x + y ' ' 0 2 ! x 2 + y ' ' ' x 3 ! x 3 + …

Substituindo os valores encontrados para as derivadas, temos:

y x = 0 + 1 x 1 ! + 0 x 2 2 ! + - 1 x 3 3 ! + …

y x = x - x 3 6 + …

Resposta

y = sen ⁡ x

y x = x - x 3 6 + …

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .5. y ' ' + x 2 y ' + x y = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .2. y ' ' + x 2 y = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .7. x - 1 y ' ' + y ' = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .8. x + 2 y ' ' + x y ' - y = 0
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .6. y ' ' + 2 x y ' + 2 y = 0