Enunciado

Considere o problema de valores de contorno.

Determine, pelo menos aproximadamente, os autovalores reais e as autofunções associadas, procedendo como no Problema 17(a, b).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

y x = s x u x

y ' = s ' u + s u '

y ' ' = s ' ' u + 2 s ' u ' + s u ' '  

s = e - 2 x

s ' =   - 2 e - 2 x

s ' ' = 4 e - 2 x

u ' ' + 9 λ u = 0

y x = e - 2 x u ( x )

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Para λ > 0 :

u x = C 2 sin ⁡ λ x  

λ n - 2 tan ⁡ λ n L = 0

λ 1 = 2,25

Para λ < 0 :

u x = C 2 sin h ⁡ 9 λ x  

9 | λ n |   - 2 tan h ⁡ 9 λ n L = 0

λ 2 = - 4 9

λ 3 = 0

Resposta

λ 3 = 0

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