Enunciado

Considere o problema em que α é uma constante dada.

Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

y ' ' x + λ y x = 0

Para λ = μ ² :

y x = C 1 cos ⁡ μ x + C 2 sin ⁡ μ x

C 1 C 2 =   - tan ⁡ μ =   - μ α

Para λ = - μ ² :

y x = C 1 cosh ⁡ μ x + C 2 sinh ⁡ μ x

C 1 C 2 =   - tahn ⁡ μ =   - μ α

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

μ n = α tanh ⁡ μ n μ n = α tan ⁡ μ n

Como o autov alor é dado por λ = μ ² , o menor autovalor que corresponde é

μ = 0   →     λ = 0

α = 1

Resposta

μ = 0   →     λ = 0

α = 1

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