Enunciado

Suponha que queremos construir um conjunto de polinômios ortonormais no intervalo 0 ≤ x ≤ 1,f0(x), f1(x), f2(x), . . . , fk(x), . . . , em que fk(x) tem grau k. Em outras palavras, os polinômios têm que satisfazer.

A condição de normalização (fk, fk) = 1 é um tanto complicada de usar. Seja g0(x), g1(x), . . . , gk(x), . . . a sequência de polinômios ortogonais em 0 ≤ x ≤ 1 normalizados pela condição gk(1) = 1. Encontre g0(x), g1(x) e g2(x) e compare com f0(x), f1(x) e f2(x).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada. Para a função, temos que:

∫ c 1 + c 2 x d x = 0 c 1 + c 2 = 1

c 1 + c 2 2 = 0 c 1 + c 2 = 1

g 1 x = 2 x - 1  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ c 1 + c 2 x + c 3 x 2 d x = 0 ∫ ( 2 x - 1   ) c 1 + c 2 x + c 3 x 2 d x = 0 c 1 + c 2 x + c 3 = 1

c 1 + c 2 2 + c 3 3 = 0 - c 1 - c 2 2 - c 3 3 + 2 c 2 3 + 2 c 3 4 = 0 c 1 + c 2 x + c 3 = 1

g 2 x = 6 x ² - 6 x + 1

Resposta

g 1 x = 2 x - 1  

g 2 x = 6 x ² - 6 x + 1

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