Enunciado

Considere o seguinte problema: uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 3 metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Encontre o maior volume que essa caixa poderá ter.

  1. Faça vários diagramas para ilustrar a situação, algumas caixas baixas com bases grandes e outras altas com base pequena. Parece existir um volume máximo? Se a resposta for sim, estime-o.
  2. Faça um diagrama ilustrando a situação geral. Introduza a notação e marque no diagrama seus símbolos.
  3. Escreva uma expressão para o volume.
  4. Use a informação dada para escrever uma equação que relacione as variáveis.
  5. Use a parte (d) para escrever o volume como uma função de uma só variável.
  6. Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua estimativa da parte (a).

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

Nessa aqui o enunciado nos deu um probleminha:

Uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de um pedaço quadrado de papelão, com 3 metros de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os lados. Então, devemos encontrar o maior volume que essa caixa poderá ter.

Pra isso, vamos seguir as instruções dos item (a) a (f) para construir alguns diagramas para ilustrar a situação, estimar um volume maáximo com base nesses diagrams, escrever uma expressão para o volume, escrever uma equação que relacione todas as variáveis e comparar o valor do volume máximo com a estimativa feita através dos diagramas.

Vamos lá!

Passo 2

a) Vamos começar esboçando os diagramas com as especificações da caixa que o enunciado nos deu. Há muitas formas de fazer isso, essas são algumas delas:

Temos que os volumes são, respectivamente 1   m 3 ,     1,6875   m 3 e 2   m 3 . Logo, parece que o volume máximo é 2   m 3 .

Passo 3

(b) Agora vamos fazer um diagrama ilustrando a situação geral, definindo x como o lado do quadrado a ser cortado e y como o comprimento da base. Assim, temos:

Passo 4

(c) Pra escrever uma expressão para o volume, vamos considerar o produto da área da base, y 2 , pela altura x . Assim, teremos:

V = x y 2

Passo 5

(d) Agora para relacionar todas as variáveis, vamos calcular o perímetro dessa caixa de papelão de comprimento 3   m . Dessa forma, podemos somar os comprimentos dos lados e obter:

x + y + x = 3

E isolando x , temos:

x = 3 - y 2

Passo 6

(e) Então, usando o resultado do passo anterior, vamos substituir essa expressão ( x = 3 - y 2 ) na equação do volume, obtida no passo 4 , e escrevê-lo em função de uma só variável. Assim, temos:

V = 3 - y 2 y 2

V = 3 y 2 - y 3 2

Passo 7

(f) Agora para comparar com a estimativa de volume máximo da parte (a), vamos encontrar os pontos críticos dessa equação do volume, derivando-a e igualando-a a zero.

Assim, derivando, temos:

V ' = 6 y - 3 y 2 2

E igualando esse resultado a zero:

6 y - 3 y 2 2 = 0

6 y - 3 y 2 = 0

Isolando y , temos:

y 6 - 3 y = 0

y = 0  

Ou

6 - 3 y = 0

Como não podemos ter o valor y = 0 , porque ela não tem uma altura nula, temos somente que:

6 - 3 y = 0

Assim, obtemos:

3 y = 6

y = 2   m

Substituindo isso na expressão de x , temos:

x = 3 - 2 2 = 1 2   m

Logo, nosso volume máximo será dado por:

V = 1 2 ⋅ 2 2

V = 1 2 ⋅ 4

V = 2   m 3

Que é o mesmo valor da estimativa na parte (a)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. O volume máximo é 2 m 3 .
  1. V = x y 2
  2. y + 2 x = 3
  3. V = 3 y 2 - y 3 2
  4. O volume máximo é 2 m 3 .
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