Enunciado

  1. Qual é a distância mínima de um ponto da semicircunferência y   = 16 - x 2 ao ponto ( 1 ,   3 ) ?
  2. Trace o gráfico da função distância juntamente com o de y   = 16 - x 2 e concilie o que você observa com a resposta do item (a)

Passo 1

Sabemos que para calcular a distância entre dois pontos a e b , por exemplo, devemos fazer d a , b = x a - x b 2 + y a - y b 2 ). Bom, para evitarmos trabalhar com raiz quadrada vamos trabalhar com a função D ( x ) que é o quadrado da distância e, por fim, vamos tirar a raiz quadrada do ponto de mínimo encontrado em D ( x ) para encontrarmos o valor dessa distância mínima.

Passo 2

Qualquer ponto que pertencer a semicircunferência é caracterizado como sendo do tipo ( x , 16 - x 2 ) . Dessa forma, precisamos encontrar a distância entre os pontos ( 1 , 3   ) e ( x , 16 - x 2 ) e faremos isso utilizando a nossa função “quadrado da distância” ( D ( x ) ).

D x = x - 1 2 + 16 - x 2 - 3 2

D x = x 2 - 2 x + 1 + 16 - x 2 - 2 ⋅ 3 ⋅ 16 - x 2 + 3

D x = x 2 - x 2 - 2 x + 1 + 16 + 3 - 2 ⋅ 48 - 3 x 2

D x =   - 2 x + 20 - 2 ⋅ 48 - 3 x 2  

Derivando essa função para acharmos os pontos críticos ( D ' x = 0 ) que são nossos candidatos a pontos de mínimo/máximo. Assim,

D ' x =   - 2 + 6 x 48 - 3 x 2

D ' x = 0

- 2 + 6 x 48 - 3 x 2 = 0

2 = 6 x 48 - 3 x 2

2 ⋅ 48 - 3 x 2 = 6 x

Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos

4 ⋅ 48 - 3 x 2 = 36 x 2

48 - 3 x 2 = 36 4 ⋅ x 2

48 - 3 x 2 = 9 x 2

12 x 2 = 48  

x 2 = 48 12

x 2 = 4

x = ± 2

Podemos descartar x = - 2 pelo fato não convir com a situação problema. Tomemos, então, x = 2 e analisaremos a derivada nas proximidades desse ponto. Podemos reparar que D ' x > 0 no intervalo 2 < x < 4 e D ' x < 0 em - 4 < x < 2 , portanto, o ponto em análise é um ponto de mínimo.

Por fim, para calcularmos o valor da distância mínima, basta fazermos D 2 , mas primeiro precisamos calcular o valor de D ( 2 ) da seguinte forma

D 2 =   2 - 1 2 + 16 - 2 2 - 3

D 2 = 1 2 + 16 - 4 - 3 2

D 2 = 1 + 12 - 3   2

D 2 = 1 + 2 3 - 3 2

D 2 = 1 + 3 2

D 2 = 1 + 3 = 4

Finalmente, a nossa distância mínima será dada por

D 2 = 2 .

Passo 3

Plotando os 2 gráficos obtemos

A distância mínima do ponto 1   ,   3 ao ponto ( 2 ,   2 3 ) no gráfico de y = 16 - x 2 ocorre quando x = 2 e nossa função D ( x ) assume seu valor mínimo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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