Enunciado

Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo (medido em unidades apropriadas) é

Y = k N 1 + N 2

Em que k é um constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a melhor produção?

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema temos a função

Y = k N 1 + N 2

Que corresponde à produção agrícola em função de um nível N de nitrogênio no solo.

A partir daí queremos determinar o valor de N para que Y seja o maior possivel.

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

Para resolver esse problema temos que encontrar o pondo de máximo da função Y , ou seja, temos que derivar a função Y e igualar a 0 .

Os valores de N que encontrarmos substituímos em Y e vemos qual é o maior.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para encontrar o valor máximo, basta derivarmos e igualarmos a zero.

Pela regra do quociente, temos

Y ' = k N ' 1 + N 2 - k N 1 + N 2 ' 1 + N 2 2

Y ' = k 1 + N 2 - 2 k N 2 1 + N 2 2

Igualando Y ' a 0 ...

k 1 + N 2 - 2 k N 2 1 + N 2 2 = 0

k + k N 2 - 2 k N 2 1 + N 2 2 = 0

k ( 1 - N 2 ) 1 + N 2 2 = 0

k 1 - N 2 = 0

Como k > 0 , temos que

1 - N 2 = 0

N 2 = 1

N = 1

Podemos calcular o valor máximo de Y

Y = k 1 + 1 = 1 2 k

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😬

Resposta

O nível de nitrogênio que dá a melhor produção é N = 1

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