Enunciado

O Teorema 9.3.2 não da informação sobre a estabilidade de um ponto crítico de um sistema quase linear, se esse ponto é um centro do sistema linear correspondente. Que isso tem que acontecer é ilustrado pelos sistemas

d x d t = y + x x 2 + y 2 d y d t = - x + y x 2 + y 2     ( i )

e

d x d t = y - x x 2 + y 2 d y d t = - x - y x 2 + y 2     ( i i )

a) Mostre que (0,0) é um ponto crítico de cada um dos sistemas e que, além disso, é um centro do sistema linear correspondente.

b) Mostre que cada sistema é quase linear.

c) Seja r 2 = x 2 + y 2 e note que x d x d t + y d y d t = r d r d t . Para o sistema (ii), mostre que d r d t < 0 e que r → 0 quando t → ∞ ; portanto, o ponto crítico é assintoticamente estável. Para o sistema (i), mostre que a solução do problema de valor inicia para r com r = r 0 em t = 0 torna-se ilimitada quando t → 1 2 r 0 2 e, portanto, o ponto crítico é instável.

Passo 1

a) É evidente que a origem é um ponto crítico de cada um dos sistemas. Além disso, é tranquilo de ver que o sistema linear correspondente em cada caso é dado por

d x d t = y

d y d t = - x

O autovalor equivalente dos coeficientes matriciais são r 1,2 = ± i . Logo, o ponto critico do sistema linearizado é o centro.

Passo 2

b) Usando coordenadas polares é tranquilo a gente mostrar que

lim r → 0 ⁡ g ( x ) x = 0

Alternativamente, os termos não lineares são analíticos em todo o plano. Logo, ambos os sistemas são quase lineares próximos a origem.

Passo 3

c) Para o sistema (ii) note que

x d x d t + y d y d t = x y - x 2 x 2 + y 2 - x y - y 2 x 2 + y 2

Convertendo para coordenadas polares e derivando a equação r 2 = ( x 2 + y 2 ) em relação a t encontramos

x d x d t + y d y d t = r d r d t = - x 2 + y 2 2 = - r 4

Isso nos da que r ' = - r 3 . Consequentemente, r 2 = 1 2 t + c onde c = 1 r 0 2 . Quando r → 0 quando t → 0 independente do valor de r 0 , a origem é um ponto de equilíbrio estável.

Por outro lado, para o sistema (i)

x d x d t + y d y d t = r d r d t = x 2 + y 2 2 = r 4

Isso nos da que r ' = r 3 . Resolvendo a equação diferencial resultamos em

r 2 = c - 2 t 2 t - c 2  

Impondo a condição inicial r 0 = r 0 nos obtemos a solução

r 2 = - r 0 2 2 r 0 2 t - 1

Como a solução não apresenta limite para t → 1 2 r 0 2 ,   o ponto crítico é instável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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