Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x

b) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x   =   ξ t e t   +   η e t ; mostre que, então, ξ e η têm que satisfazer

A - I ξ = 0

A - I η = ξ

Passo 1

b) para desenvolvermo esta questão, note que a solução de x ' ira possuir 3 autovalores associados a um autovetor múltiplo dos autovalores.

Logo com está afirmação sabemos que a formula geral é:

x ' = ξ t e t + ξ e t + η e t

Passo 2

Igualando a equação geral a A x temos:

x ' = A x

ξ t e t + ξ e t + η e t = A ξ t e t   + A η e t

Reorganizando os termos para isolarmos ξ e t , temos:

ξ e t = A ξ t e t   + A η e t - ξ t e t - η e t

ξ e t = A - 1 ξ t e t + A - 1 η e t

Como estamos tratando com uma equação diferencial matricial, o número 1 é equivalente ao matriz fundamental. Portanto, temos que:

ξ e t = A - I ξ t e t + A - I η e t

Caso assumirmos ξ como vetor próprio, teremos:

A - I ξ = 0

A - I η = ξ

Resposta

b)

ξ e t = A - I ξ t e t + A - I η e t

Caso assumirmos ξ como vetor próprio, teremos:

A - I ξ = 0

A - I η = ξ

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Mostre que Φ t =Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 5 - 3 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 5 1 - 2 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 1 3 - 2 x
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