Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x

f) Forme a matriz T com o autovetor ξ ( 1 ) na primeira coluna e com o autovetor ξ encontrado no item ( d ) e o autovetor generalizado η nas duas últimas colunas. Encontre T - 1 e forme o produto J = T - 1 A T . A matriz J é a forma canônica de Jordan de A .

Passo 1

Primeiramente vamos enunciar os autovetores da matriz para que assim podermos montar a matriz T .

ξ 1 = 1 0 2

ξ 2 = - 2 - 4 2

ξ 3 = 0 0 1

Teremos a matriz T :

T = 1 - 2 0 0 - 4 0 2 2 1

Passo 2

Calculando a inversa de T , temos:

Temos que:

T - 1 ∙ T = I

Logo:

T - 1 = a b c d e f g h i

1 - 2 0 0 - 4 0 2 2 1 a b c d e f g h i = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

a - 2 d b - 2 e c - 2 f - 4 d - 4 e - 4 f 2 a + 2 d + g 2 b + h + 2 e 2 c + 2 f + i = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Resolvendo o sistema temos que:

T - 1 = 1 - 1 2 0 0 - 1 4 0 - 2 3 2 1

Passo 3

Efetuando o calculo de :

J = T - 1 A T

J = 1 - 1 2 0 0 - 1 4 0 - 2 3 2 1 ∙ 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 ∙ 1 - 2 0 0 - 4 0 2 2 1

Efetuando a multiplicação de A T prmeiro:

J = 1 - 1 2 0 0 - 1 4 0 - 2 3 2 1 ∙ 1 - 2 - 2 0 - 4 - 4 2 2 3

J = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Resposta

J = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

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