Enunciado

A matriz fundamental Φ ( t ) para o sistema (3) foi encontrada no Exemplo 2. Mostre que Φ ( t )

Φ ( s )   =   Φ ( t   +   s ) multiplicando Φ ( t ) e Φ ( s ) .

Passo 1

Primeiramente estamos falando desta matriz do exemplo 2:

x ' = 1 1 4 1 x

E como no próprio exemplo 2 temos a resolução desta para encontra a matriz fundamental específica:

Φ t = 1 4 2 e 3 t + 2 e - t e 3 t - e - t 4 e 3 t - 4 e - t 2 e 3 t + 2 e - t

Enunciando a Φ ( s ) :

Φ s = 1 4 2 e 3 s + 2 e - s e 3 s - e - s 4 e 3 s - 4 e - s 2 e 3 s + 2 e - s

Para provarmos isto, iremos executar a multiplicação entre as duas matrizes e vamos ver se resulta em:

Φ t + s = 1 4 2 e 3 ( t + s ) + 2 e - ( t + s ) e 3 ( t + s ) - e - ( t + s ) 4 e 3 ( t + s ) - 4 e - t + s 2 e 3 ( t + s ) + 2 e - ( t + s )

Passo 2

Fazendo a multiplicação direta, temos:

Φ t ∙ Φ s = 1 4 2 e 3 t + 2 e - t e 3 t - e - t 4 e 3 t - 4 e - t 2 e 3 t + 2 e - t ∙ 1 4 2 e 3 s + 2 e - s e 3 s - e - s 4 e 3 s - 4 e - s 2 e 3 s + 2 e - s

Φ t ∙ Φ s = 1 16 8 e 3 t + s + 2 e - t + s e 3 t + s - e - t + s 4 e 3 t + s - 4 e - t + s 2 e 3 t + s + 2 e - t + s

Portanto, se simplificarmos as frações teremos que:

Φ t ∙ Φ s = Φ t + s

Resposta

Φ t ∙ Φ s = Φ t + s

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