Enunciado

Mostre que Φ t =   Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.

Passo 1

Primeiramente temos que enunciar nossas Ψ ( t ) e:   Ψ ( t 0 )

Temos:

Ψ t = x 1 1 ( t ) ⋯ x 1 n t ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ( t ) ⋯ x n n ( t )

E para t 0 , temos:

Ψ t 0 = x 1 1 ( t 0 ) ⋯ x 1 n t 0 ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ( t 0 ) ⋯ x n n ( t 0 )

Passo 2

E isto tudo são matrizes escalares, que são reversíveis desde que sua soluções sejam linearmente independente.

Fazendo com que Ψ - 1 t 0 = ( c i j )

Ψ t Ψ - 1 t 0 = x 1 1 ( t ) ⋯ x 1 n t ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 ( t ) ⋯ x n n ( t ) ∙ c 11 ⋯ c 1 n ⋮ ⋱ ⋮ c n 1 ⋯ c n n

E o produto desta matriz j - t h :

Ψ t Ψ - 1 t 0 j = ∑ k = 1 n c k j ∙ x k

Temos que a este é uma solução de vetor, desde que a combinação linear seja solução do mesmo. Além disto, as colunas são todas linearmente independentes, desde que seja o vetor x k . Consequentemente o produto resultara na matriz fundamental.

Finalizando, assumindo t = t 0 :

Ψ t 0 Ψ - 1 t 0 = I

E isto é exatamente a definição de Φ t .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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