Enunciado

Considere o sistema de equações:

d x d t = y - x f x , y ,     d y d t = - x - y f ( x , y )

Em que f é contínua e tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Mostre que, se f x , y > 0 em alguma vizinhança da origem, então a origem é um ponto crítico assintoticamente estável, e, se f x , y < 0 em alguma vizinhança da origem, então a origem é um ponto crítico instável.

Sugestão: Construa uma função de Liapunov da forma c x 2 + y 2

Passo 1

Tá legal, vamos considerar uma função genérica de Liapunov da forma:

V x , y = c x 2 + y 2

E, a taxa de mudança de V ao longo de qualquer trajetória é:

V ˙ = V x . d x d t + V y . d y d t

Então, substituindo os valores conhecidos nesse caso, chegamos em:

V ˙ = 2 c x y - x f x , y + 2 c y - x - y f x , y

V ˙ = 2 c x y - 2 c x 2 f x , y - 2 c x y - 2 c y 2 f x , y → V ˙ = - 2 c x 2 + y 2 f x , y

Passo 2

Agora, analisando as equações do passo 1, sabemos que se c > 0 , então V ( x , y ) será definida positiva. E, dessa forma, se tivermos f ( x , y ) positiva na vizinhança próxima a origem, então, V ˙ ( x , y ) será definida negativa, e com isso, o teorema 9.6.1 nos dá que a origem será um ponto crítico assintoticamente estável.

Passo 3

Agora, se tivermos f ( x , y ) negativa na vizinhança próxima a origem, então, ambas V ( x , y ) e V ˙ ( x , y ) serão definidas positivas. Dessa forma, pelo teorema 9.6.2 a origem será um ponto crítico instável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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