Enunciado

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

y ' ' + 4 y ' + 4 y = t - 2 e - 2 t   ,         t > 0

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' + 4 y ' + 4 y = t - 2 e - 2 t  

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' + 4 y ' + 4 y = t - 2 e - 2 t

Pode ser reescrita como:

λ 2 + 4 λ + 4 = 0

Onde:

λ 1 = - 2

λ 2 = - 2

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 e - 2 t + c 2 t e - 2 t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = e - 2 t e y 2 t = t e - 2 t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= e - 2 t - 2 t e - 2 t + e - 2 t - t e - 2 t ( - 2 e - 2 t )

= - 2 t e - 4 t + e - 4 t + 2 t e - 4 t = e - 4 t

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t = t - 2 e - 2 t   .

y 1 t u 1 t = - e - 2 t ∫ t e - 2 t t - 2 e - 2 t e - 4 t d t

E u 2 por:

u 2 t = t e - 2 t ∫ e - 2 s s - 2 e - 2 s e - 4 s d t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Y t = - e - 2 t ln ⁡ t + t e - 2 t - 1 t

= - e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t

A solução particular da equação será :

Y = y 1 t c 1 + y 2 t c 2 + Y ( t )

A solução geral considerando a parte homogênea e particular:

Y = e - 2 t c 1 + t e - 2 t c 2 - e - 2 t ln ⁡ t - e - 2 t

Reorganizando:

= e - 2 t ( c 1 - 1 ) + t e - 2 t c 2 - e - 2 t ln ⁡ t

Podemos reescrever ( c 1 - 1 ) como uma constante ( c 1 ) .

Y = e - 2 t c 1 + t e - 2 t c 2 - e - 2 t ln ⁡ t

Resposta

Y = e - 2 t c 1 + t e - 2 t c 2 - e - 2 t ln ⁡ t

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