Enunciado

10. Considere o sistema linear ( i i ) .

Reprodução da equação: d x / d t = a 11 x + a 12 y               e               d y / d t = a 21 x + a 22 y

(a) Como ( 0 ,   0 ) é um ponto crítico assintoticamente estável, mostre que a 11   +   a 22   <   0 e a 11 a 22   – a 12 a 21   >   0 . (Veja o Problema 21 da Seção 9.1.)

(b) Construa uma função de Liapunov V x ,   y =   A x 2 + B x y + C y 2 tal que V é positiva definida e V ˙ é negativa definida. Um modo de garantir que V ˙ seja negativa definida é escolher A , B e C tais V ˙ x ,   y = - x 2 - y 2 . Mostre que isto leva ao resultado

A = - a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ

B = a 12 a 22 + a 11 a 21 Δ

C = - a 11 2 + a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ

Em que Δ = a 11 + a 22 a 11 a 22   – a 12 a 21 .

(c) Usando o resultado do item (a), mostre que A > 0 e depois mostre que (são necessários vários passos algébricos)

4 A C - B 2 = a 11 2 + a 12 2 + a 21 2 + a 22 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 + 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ 2 > 0

Logo, pelo Teorema 9.6 . 4 , V é positiva definida.

Passo 1

L e t r a   A :

Para provarmos essa condição, primeiro devemos a matriz de coeficientes do sistema i i :

M = a 11 a 12 a 21 a 22

Calculando os autovalores r dessa matriz então...

det ⁡ M - r I = 0   →

det ⁡ a 11 - r a 12 a 21 a 22 - r = 0   →

a 11 - r a 22 - r - a 12 a 21 = 0

Rearranjando essa equação...

a 11 a 22 - a 11 + a 22 r + r 2 - a 12 a 21 = 0   →

Est Voilà! Aqui chegamos:

r 2 - a 11 + a 22 r + a 11 a 22 - a 12 a 21 = 0

Para o sistema ser estável assintoticamente devemos ter...

r 1   e   r 2 < 0

Da nossa equação do segundo grau, podemos tirar por Báskara que as raízes serão:

r = a 11 + a 22 2 ± a 11 + a 22 2 - 4 a 11 a 22 - a 12 a 21 2

Repare que de cara temos que ter então...

a 11 + a 22 < 0

E para o que está dentro da raiz ser um número pequeno e menor que ( a 11 + a 22 ) / 2 de modo que somando ou subtraindo de ( a 11 + a 22 ) / 2 ainda gere valores negativos, temos que ter...

a 11 a 22 - a 12 a 21 > 0

Assim garantimos que as duas raízes serão negativas e, portanto, teremos estabilidade pedida!

Passo 2

L e t r a   B :

SHOW! Então sabemos que V ˙ deve satisfazer a equação sugerida:

V ˙ x ,   y = - x 2 - y 2

Da teoria, sabemos também que a definição de V ˙ é...

V ˙ x ,   y = V x x ,   y F x ,   y + V y x ,   y G x ,   y

F e G são as funções que veio do nosso sistema de EDO i do enunciado:

V ˙ x ,   y = V x x ,   y a 11 x + a 12 y + V y x ,   y a 21 x + a 22 y

Como

V x ,   y =   A x 2 + B x y + C y 2

Então, calculando as derivadas parciais...

V ˙ x ,   y = 2 A x + B y a 11 x + a 12 y + B x + 2 C y a 21 x + a 22 y     →

2 A x + B y a 11 x + a 12 y + B x + 2 C y a 21 x + a 22 y = - x 2 - y 2

2 A a 11 x 2 + 2 A a 12 x y + B a 11 x y + B a 12 y 2 + B a 21 x 2 + B a 22 x y + 2 C a 21 x y + 2 C a 22 y 2 = - x 2 - y 2   →

Reagrupando essa equação...

2 A a 11 + B a 21 x 2 + 2 A a 12 + B a 11 + B a 22 + 2 C a 21 x y + B a 12 + 2 C a 22 y 2 = - x 2 - y 2   →

Chegaremos ao seguinte sistema por comparação com o lado direito:

2 A a 11 + B a 21 = - 1

2 A a 12 + B a 11 + B a 22 + 2 C a 21 = 0

B a 12 + 2 C a 22 = - 1

Uma forma de verificar se A , B e C dados no enunciado satisfazem a condição pedida é substituindo aqui nessa primeira equação:

2 - a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ a 11 + a 12 a 22 + a 11 a 21 Δ a 21 = - 1     →

Logo...

- a 21 2 a 11 + a 22 2 a 11 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 Δ + a 12 a 22 a 21 + a 11 a 21 2 Δ = - 1     →

Reagrupando e simplificando...

- a 21 2 a 11 + a 22 2 a 11 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 + a 12 a 22 a 21 + a 11 a 21 2 = - Δ     →

- a 22 2 a 11 - a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 + a 12 a 22 a 21 = - Δ

- a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 + a 22 a 12 a 21 - a 22 a 11 = - Δ

- a 11 + a 22 a 11 a 22   – a 12 a 21 = - Δ

OPA! Isso de fato é verdade! Então A e B são como dado. O C pode ser provado da mesma forma, substituindo aí: B a 12 + 2 C a 22 = - 1

Passo 3

L e t r a   C :

Podemos provar que A é de fato maior que 0 :

A = - a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ

Afinal, sabemos da letra A que...

a 11 a 22   – a 12 a 21 > 0           e           a 11 + a 22 < 0

Isso implica no Δ ser negativo, logo...

Δ = a 11 + a 22 a 11 a 22   – a 12 a 21 < 0 →

A > 0

Passo 4

Provar que 4 A C - B 2 vale aquela expressão requer muitos cálculo, então vou deixar aqui um passo fazer, tá?

Primeiro você substitui as expressões de A e B :

4 A C - B 2 = 4 - a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ - a 11 2 + a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ - a 12 a 22 + a 11 a 21 Δ 2   →

Agora simplifique...

4 A C - B 2 = a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 2 + a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 Δ 2 - a 12 a 22 + a 11 a 21 2 Δ 2   →

a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 2 + a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 - a 12 a 22 + a 11 a 21 2 Δ 2   →

Juntando tudo em uma única equação...

a 21 2 a 11 2 + a 21 2 a 12 2 + a 21 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 + a 22 2 a 11 2 + a 22 2 a 12 2 + a 22 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ 2 -

- a 22 2 a 12 2 - a 21 2 a 11 2 - 2 a 12 a 22 a 11 a 21 Δ 2

Subtraindo quem tem de ser subtraído...

a 21 2 a 12 2 + a 21 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 + a 22 2 a 11 2 + a 22 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 11 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 - 2 a 12 a 22 a 11 a 21 Δ 2

Bem, daqui em diante é só simplificação e agrupamento. De fato, podemos chegar aqui, com mais umas três páginas de algebrismo kkkk:

4 A C - B 2 = a 11 2 + a 12 2 + a 21 2 + a 22 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 + 2 a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ 2

Como a 11 a 22   – a 12 a 21 e o resto estão ao quadrado, concluímos que de fato...

4 A C - B 2 > 0

O que prova o exercício!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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