Enunciado

12. Neste problema, vamos provar uma parte do Teorema 9.3.2 relativa à instabilidade.

(a) Mostre que, se a 11   +   a 22   >   0 e a 11 a 22   –   a 12 a 21   >   0 , então o ponto crítico do sistema linear ( i i ) é instável.

(b) O mesmo resultado é válido para o sistema localmente linear ( i ) . Como nos Problemas 10 e 11, construa uma função positiva definida V   tal que V ˙ x ,   y = x 2 + y 2 , de modo que V ˙ é positiva definida, e invoque o Teorema 9.6.2.

Passo 1

L e t r a   A :

Para provarmos essa condição, primeiro devemos a matriz de coeficientes do sistema i i :

M = a 11 a 12 a 21 a 22

Calculando os autovalores r dessa matriz então...

det ⁡ M - r I = 0   →

det ⁡ a 11 - r a 12 a 21 a 22 - r = 0   →

a 11 - r a 22 - r - a 12 a 21 = 0

Rearranjando essa equação...

a 11 a 22 - a 11 + a 22 r + r 2 - a 12 a 21 = 0   →

Est Voilà! Aqui chegamos:

r 2 - a 11 + a 22 r + a 11 a 22 - a 12 a 21 = 0

Para o sistema ser instável devemos ter...

r 2 ≥ r 1 > 0

Da nossa equação do segundo grau, podemos tirar por Báskara que as raízes serão:

r = a 11 + a 22 2 ± a 11 + a 22 2 - 4 a 11 a 22 - a 12 a 21 2

Repare que de cara temos que ter então...

a 11 + a 22 > 0

E para o que está dentro da raiz ser um número pequeno e menor que ( a 11 + a 22 ) / 2 de modo que somando ou subtraindo de ( a 11 + a 22 ) / 2 ainda gere valores pequenos, temos que ter...

a 11 a 22 - a 12 a 21 > 0

Assim garantimos que pelo menos uma das raízes negativas, portanto, teremos a instabilidade pedida!

Passo 2

L e t r a   B :

Assim como na questão 10, tomemos:

V x ,   y = A x 2 + B x y + C y 2

De modo que...

A = a 21 2 + a 22 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ

B = a 12 a 22 + a 11 a 21 Δ

C = a 11 2 + a 12 2 + a 11 a 22   – a 12 a 21 2 Δ

Em que Δ = a 11 + a 22 a 11 a 22   – a 12 a 21 . Dessa forma, ao contrário do exercício 11, teremos...

V ˙ x ,   y = x 2 + y 2 + 2 A x + B y F 1 x ,   y + B x + 2 C y G 1 x ,   y

O item a , nos mostrou que a 11 + a 22 > 0 e a 11 a 22   – a 12 a 21 também é! Então A , B e C são positivos de modo que...

V x ,   y = A x 2 + B x y + C y 2

É positivo de menos na origem!

E assim como no exercício 11, também podemos falar que existe algum R pequeno de modo que...

V ˙ x ,   y = x 2 + y 2

Próximo da origem! Portanto, podemos falar que V ˙ é definida positiva perto da origem e, portanto, pelo teorema 9.6.2 o ponto crítico (origem) é instável!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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