Enunciado

Considere o sistema de partículas P 1 , P 2 , ..., P n , localizados nos pontos ( x 1 ,   y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ..., ( x n , y n ) e de massas m 1 , m 2 , ..., m n . Seja N = ( x , y ) . Determine N para que o momento de inércia do sistema, em relação a N , seja mínimo.

Passo 1

A questão fornece um sistema de n partículas e pede para acharmos o ponto em que o momento de inércia é o menor possível. Para isso, lembre-se que o momento de inércia de uma partícula com relação a um ponto é o produto da massa da partícula pela sua distância até o ponto ao quadrado. Assim, para a i -ésima partícula:

I i = m i   x - x i 2 + y - y i 2

Somando para todas as partículas:

I = ∑ i = 1 n I i = ∑ i = 1 n m i   x - x i 2 + y - y i 2

Chamando I = f ( x , y ) , temos que

f x , y = ∑ i = 1 n m i   x - x i 2   +     ∑ i = 1 n m i   y - y i 2

Essa é a função que queremos minimizar.

Passo 2

Note que f é uma função quadrática de x e y , de modo que ela tem um único ponto crítico e esse ponto crítico será um extremo global (ver exercício 2). Temos que achar esse ponto e provar que ele é ponto de mínimo.

Derivando com relação a x :

∂ f ∂ x = 2   ∑ i = 1 n m i x - x i = 0

Assim,

∑ i = 1 n m i   x - ∑ i = 1 n m i   x i = 0 ⇒ x   ∑ i = 1 n m i = ∑ i = 1 n m i   x i

Logo,

x = ∑ i = 1 n m i x i ∑ i = 1 n m i

Para y :

∂ f ∂ y = 2   ∑ i = 1 n m i y - y i = 0

Fazendo literalmente a mesma conta, chegamos em

y = ∑ i = 1 n m i y i ∑ i = 1 n m i

Note que obtivemos as coordenadas do centro de massa do sistema!

Passo 3

Vamos provar agora que esse ponto é de mínimo:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∑ i = 1 n m i > 0

∂ 2 f ∂ y 2 = ∑ i = 1 n m i

∂ 2 f ∂ x   ∂ y = ∂ 2 f ∂ y   ∂ x = 0

Assim, o hessiano será

H = ∑ i = 1 n m i 0 0 ∑ i = 1 n m i = ∑ i = 1 n m i 2 > 0

Assim, como H > 0 e ∂ 2 f ∂ x 2 > 0 ,o ponto crítico é ponto de mínimo local. Como se trata de uma forma quadrática, este ponto é mínimo global. Assim, o centro de massa do sistema é ponto que minimiza o momento de inércia.

Resposta

N = x = ∑ i = 1 n m i x i ∑ i = 1 n m i ,   y = ∑ i = 1 n m i y i ∑ i = 1 n m i

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