Enunciado

Duas partículas P 1 e P 2 deslocam-se no espaço com velocidades constantes v → 1 = ( 1,1 , 0 ) e v → 2 = ( 0,1 , 1 ) , respectivamente. No instante t = 0 a P 1 encontra-se na posição 1,1 , 3 . Sabe-se que a trajetória descrita por P 2 passa pelo ponto ( 1,1 , 0 ) . Qual deverá ser a posição de P 2 no instante t = 0 para que a distância mínima entre elas seja a menor possível?

Passo 1

Como a velocidade é constante, a posição das duas partículas, como função do tempo, é dada por

r → 1 t = r → 1,0 + v → 1   t

r → 2 t = r → 2,0 + v → 2   t

Sabemos que r → 1,0 = ( 1,1 , 3 ) , de modo que para a primeira partícula:

r → 1 t = 1,1 , 3 + t 1,1 , 0 = 1 + t ,   1 + t ,   3

Já para a partícula 2, não sabemos sua posição inicial, então vamos chamá-la de

r → 2,0 = ( x 0 , y 0 , z 0 )

Assim,

r → 2 t = x 0   , y 0 , z 0 + t 0,1 , 1 = x 0 , y 0 + t , z 0 + t

Assim, a distância em quadrado entre as partículas, como função do tempo, é dada por

d 2 = r → 1 t - r → 2 t 2 = 1 + t - x 0 2 + 1 + t - y 0 - t 2 + 3 - z 0 - t 2

Assim,

d 2 = 1 + t - x 0 2 + 1 - y 0 2 + 3 - z 0 - t 2

Passo 2

Veja que a função que queremos minimizar tem 4 variáveis. Será que isso tá certo? A resposta é: ainda não! Não podemos esquecer que o ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) está restrito a uma reta cujo vetor diretor é u → = ( 0,1 , 1 ) e que passa pelo ponto ( 1,1 , 0 ) . Assim, temos que para algum k :

x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 0 + k 0,1 , 1 = 1,1 + k , k

Assim,

x 0 = 1 y 0 = 1 + k z 0 = k

Substituindo isso na expressão para d 2 :

d 2 = 1 + t - 1 2 + 1 - 1 - k 2 + 3 - k - t 2

Assim,

d 2 = t 2 + k 2 + 3 - k - t 2

Note que agora temos uma função de duas variáveis apenas para minimizar (ufa). Desenvolvendo a expressão:

d 2 = t 2 + k 2 + 9 + k 2 + t 2 - 6 k - 6 t + 2 k t

Assim,

d 2 = 2 t 2 + 2 k 2 + 2 k t - 6 k - 6 t + 9

Por simplicidade de notação, vamos escrever h t , k = d 2 :

h t , k = 2 t 2 + 2 k 2 + 2 k t - 6 k - 6 t + 9

Nosso objetivo é minimizar h .

Passo 3

Note que h é forma quadrática nas variáveis t e k . Vimos no problema 2 desta seção que esse tipo de função tem apenas um ponto crítico e que será tanto um extremo local como global. Assim, o que temos que fazer é achar esse ponto crítico e mostrar que ele é um mínimo local pelo método do hessiano.

Derivando:

∂ h ∂ t = 4 t + 2 k - 6

∂ h ∂ k = 4 k + 2 t - 6

Igualando ambas as derivadas a zero:

2 t + k = 3 t + 2 k = 3

A solução desse sistema é

t = k = 1

Este é o único ponto crítico!

Passo 4

Vamos tomar agora as segundas derivadas:

∂ 2 h ∂ t 2 = 4

∂ 2 h ∂ k 2 = 4

∂ 2 h ∂ t   ∂ k = ∂ 2 h ∂ t   ∂ k = 2

Assim, o hessiano será

H = 4 2 2 4 = 16 - 4 = 12 > 0

Assim, como H > 0 e ∂ 2 h ∂ t 2 > 0 , o ponto crítico é ponto de mínimo local. Como se trata de uma forma quadrática, este ponto é mínimo global. Assim,

x 0 = 1 ,       y 0 = 1 + k = 1 + 1 = 2         e       z 0 = k = 1

Portanto, a posição da partícula 2 em t = 0 para que a menor distância entre as partículas seja mínima é

( 1 ,   2 ,   1 )

Resposta

( 1 ,   2 ,   1 )

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