Enunciado

Considere um sistema 2 × 2   x ' = A x . Se supusermos que r 1   ≠   r 2 , a solução geral será x   =   c 1 ξ ( 1 ) e r 1 t     +   c 2 ξ 2 e r 2 t desde que ξ 1 e ξ 2 sejam linearmente independentes. Nesse problema, vamos estabelecer a independência linear de ξ 1 ) e ξ 2 supondo que são linearmente dependentes e, depois, mostrando que isto nos leva a uma contradição.

(a) Note que ξ   1 satisfaz a equação matricial A   –   r 1 I ξ 1   =   0 ; analogamente,   A   –   r 2 I ξ 2   =   0 .

(b) Mostre que A   –   r 2 I ξ   1   =   r 1   –   r 2 ξ 1 .

(c) Suponha que ξ 1 e ξ 2 são linearmente dependentes. Então c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2   =   0 e pelo menos um entre c 1 e c 2 é diferente de zero; suponha que c 1   ≠   0 . Mostre que ( A   –   r 2 I ) ( c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2   )   =   0   e que ( A   –   r 2 I ) ( c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2   )   =   c 1 r 1   –   r 2 ξ 1 . Logo, c 1   =   0 , uma contradição. Portanto, ξ 1   e   ξ 2   são linearmente independentes.

(d) Modifique o argumento no item (c) para o caso em que c 2   ≠   0 .

(e) Faça um argumento semelhante para o caso em que a ordem n é igual a 3; note que o procedimento pode ser estendido para um valor arbitrário de n.

Passo 1

Então, notamos que :

A - r i I ξ i = 0   p a r a   i = 1   e   2

A letra a é só isso hahahah

Passo 2

A letra b temos que:

A - r 1 I ξ 1 = 0

Então, podendo ignorar a matriz I nós teremos:

A ξ 1 - r 1 ξ 1 = 0

A ξ 1 = r 1 ξ 1

Diminuindo por r 2 ξ 1 nos dois lados nós teremos:

A ξ 1 - r 2 ξ 1 = r 1 ξ 1 - r 2 ξ 1

E arrumando:

A   –   r 2 I ξ   1   =   r 1   –   r 2 ξ 1

Passo 3

Para fazer a letra c precisamos ler atentamente o enunciado, nós queremos provar que ξ 1   e   ξ 2   são linearmente independentes, dizendo que na verdade eles são linearmente dependentes e aí no caminho acharemos algo que vai contradizer a afirmação. Isso supondo que c 1 ≠ 0 , então se

c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2   =   0

Então é tranquilo dizer que:

A   –   r 2 I c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2   =   0

Mas não podemos dizer que:

A   –   r 2 I c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2   =   c 1 r 1   –   r 2 ξ 1 = 0

Pois r 1 ≠ r 2 então temos uma contradição. Pois teria que assumir que c 1 = 0 , o que é uma inverdade ( o autovetor não pode ser nulo mesmo).

E se c 2 ≠ 0 A   –   r 1 I ξ   2   =   r 2   –   r 1 ξ 2

Passo 4

Para um sistema de ordem 3 teremos autovetores iguais a ξ 1 , ξ 2 e ξ 3 e autovalores iguais a r 1 , r 2 e r 3 (todos os autovalores diferentes entre si), então assumindo que os autovetores são linearmente dependentes ou seja:

c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2 + c 3 ξ 3   =   0

E assumindo que c 1 ≠ 0 , então:

A - r 2 I c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2 + c 3 ξ 3   = 0

Por outro lado fazendo a distributiva:

A - r 2 I c 1 ξ 1   +   c 2 ξ 2 + c 3 ξ 3   = c 1 r 1 - r 2 ξ 1 + c 3 r 3 - r 2 ξ 3 = 0

Lembre-se que A ξ 1 = r 1 ξ 1

O que nos aponta uma contradição pois r 1 ≠ r 2 ≠ r 3 e c 1 ≠ 0 , logo os autovetores são linearmente independentes, furando com nossa suposição inicial.

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   P a s s o   2

c )   P a s s o   3  

d )   A   –   r 1 I ξ   2   =   r 2   –   r 1 ξ 2

e )   P a s s o   4

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