Enunciado

30- O sistema de dois tanques do Problema 22 na Seção 7.1 nos leva ao problema de valor inicial

x ' = - 1 / 10 3 / 40 1 / 10 - 1 / 5 x ,     x 0 = - 17 - 21  

Em que x 1 e x 2 são os desvios dos níveis de sal Q 1 e Q 2 dos seus respectivos pontos de equilíbrio

( a ) Encontre a solução do problema de valor inicial dado

( b ) Faça os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos

c Encontre o menor instante T tal que x 1 t ≤ 0.5   e x 2 t ≤ 0.5 para todo t ≥ T

Passo 1

Esse problema é a soma de praticamente tudo que fizemos nas questões anteriores, isso quer dizer que ele dá mais trabalho hahahah

Encontrando os autovalores dessa matriz nós temos:

det ⁡ - 1 10 - r 3 40 1 10 - 1 5 - r = 0

1 10 + r 1 5 + r - 3 400 = 0

r 2 + 1 10 + 1 5 r + 1 50 - 3 400 = 0

r 2 + 3 10 r + 1 80 = 0

Então:

r 1 ; r 2 = - 1 4 ; - 1 20

Passo 2

O auto valor r = - 1 4 nos dá um autovetor igual a ξ 1 e que será:

- 1 10 + 1 4 3 40 1 10 - 1 5 + 1 4 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

O que nos dá:

3 20 3 40 1 10 1 20 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Fazendo a multiplicação vetorial nós temos algo como:

ξ 1 1 + 1 2 ξ 2 1 = 0

2 ξ 1 1 = - ξ 2 1

O autovetor associado ao autovalor r = - 1 4 será:

ξ 1 = 1 - 2

Então a solução será:

x 1 = c 1 1 - 2 e - t 4

Passo 3

Agora para r = - 1 20 nós temos o autovetor ξ 2 :

- 1 10 + 1 20 3 40 1 10 - 1 5 + 1 20 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

- 1 2 0 3 40 1 10 - 3 20 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Isso nos dá uma relação igual a:

- 1 20 ξ 1 2 + 3 40 ξ 2 2 = 0

3 4 ξ 2 2 = 1 2 ξ 1 2

3 2 ξ 2 2 = ξ 1 2

3 ξ 2 2 = 2 ξ 1 2

O que nos dá um autovetor igual a:

ξ 2 = 3 2

Logo uma solução igual a:

x 2 = c 2 3 2 e - t 20

Então a solução geral estará na forma de:

x = c 1 1 - 2 e - t 4 + c 2 3 2 e - t 20

Passo 4

Agora vamos aplicar o valor inicial para encontrar c 1 e c 2 e fazendo isso nós teremos:

x 0 = - 17 - 21

Ou seja x 1 em t = 0 é - 17 e x 2 em t = 0 é - 21 logo:

x 0 = x 1 x 2 = c 1 1 - 2 e - 0 4 + c 2 3 2 e - 0 20 = - 17 - 21

Então:

c 1 + 3 c 2 = - 17

- 2 c 1 + 2 c 2 = - 21

Multiplicando a primeira equação por 2 nós vamos ter:

2 c 1 + 6 c 2 = - 34

- 2 c 1 + 2 c 2 = - 21

Somando:

8 c 2 = - 55 → c 2 = - 55 8

Então c 1 será:

2 c 1 = - 34 - 6 - 55 8 = 29 4

c 1 = 29 8

Então a solução geral será igual a:

x = 29 8 1 - 2 e - t 4 - 55 8 3 2 e - t 20

Passo 5

Pela solução geral teremos que o valor de x 1 e de x 2 são:

x 1 x 2 = 29 8 1 - 2 e - t 4 - 55 8 3 2 e - t 20

Portanto:

x 1 = 29 8 e - t 4 - 165 8 e - t 20

x 2 = - 29 4 e - t 4 - 55 4 e - t 20

Plotando o gráfico das duas equações na mesma imagem nós teremos:

Onde x 1 é a curva vermelha e x 2 a azul.

Passo 6

Queremos saber na letra c o tempo t onde as duas funções terão valor de módulo menor que 0.5 e como as duas funções são crescentes (de forma monótona) e em t → ∞ x 1 e x 2 tendem a zero, logo para x 1 (que é a curva que sempre nos dará valores de maior intensidade) nós teremos:

x 1 = 29 8 e - t 4 - 165 8 e - t 20 = 0.5

No gráfico vemos que esse tempo se dará em t = 74.4   s , nesse valor x 2 já tem um módulo menor que 0.5 há um tempo já.

Resposta

a ) x =   29 8 1 - 2 e - t 4 - 55 8 3 2 e - t 20

b )   G r á f i c o   d o   P a s s o   5

c )   t = 74.4   s

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