Enunciado

23 – 24 Considere y   como a variável independente e x como a variável dependente e use a diferenciação implícita para encontrar d x / d y .

23. y 4 + x 2 y 2 + y x 4 = y + 1

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente considerar y   como uma variável independente e x como uma variável dependente e usar a diferenciação implícita para encontrar d x / d y , na expressão:

y 4 + x 2 y 2 + y x 4 = y + 1

E para derivar implicitamente, nós devemos aplicar a derivada dos dois lados da equação. Lembrando que agora devemos derivar em relação a y :

d d y y 4 + x 2 y 2 + y x 4 = d d y ( y + 1 )

Assim, vamos aplicar a derivada em cada um dos termos, e essa será nossa derivação implícita.

Vem comigo que te mostro tudo no passo a passo.

Passo 2

Aplicando a derivada dos dois lados da equação, temos:

d d y y 4 + x 2 y 2 + y x 4 = d d y ( y + 1 )

E podemos aplicar a derivada em cada um dos termos que estão entre parênteses. Assim:

d d y y 4 + d d y x 2 y 2 + d d y y x 4 = d d y y + d d y ( 1 )

Como estão derivando em relação a y , podemos usar a regra do expoente em todos os temos que possuem apenas y . Assim:

4 y 3 + d d y x 2 y 2 + d d y y x 4 = 1

Para os termos que possuem x

d d y x 2 y 2

e

d d y y x 4

não podemos simplesmente aplicar a derivada, pois x é uma função de y . Sendo assim, precisaremos usar algumas outras regrinhas.

Vamos ver cada um deles separadamente.

Passo 3

Para a derivada:

d d y x 2 y 2

Temos um produto de uma função x 2 que é uma f 2 y e a função y 2 . Ou seja temos um produto entre funções. Então vamos usar a regra do produto:

u ⋅ v ' = v ⋅ u ' + u ⋅ v '

Então aplicando a regra do produto, ficamos com:

d d y x 2 y 2 = d d y x 2 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ d d y y 2

Mas para fazer d d y x 2 precisamos utilizar a regra da cadeia, já que temos x em função de y . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F y = f g y

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' y = f ' g y ⋅ g ' y

Nesse caso a função de fora é o expoente e a função de dentro é x , então podemos escrever a equação como sendo:

d d y x 2 = 2 x ⋅ x '

E teremos:

d d y x 2 y 2 = 2 x ⋅ x ' ⋅ y 2 + x 2 ⋅ 2 y

Ou seja:

d d y x 2 y 2 = 2 x y 2 x ' + 2 x 2 y

Beleza.

Passo 4

Agora para:

d d y y x 4

Aplicaremos a regra do produto novamente, já que temos uma multiplicação entre duas funções. Assim:

d d y y x 4 = d d y y ⋅ x 4 + y ⋅ d d y x 4

E para fazer d d y x 4 , também precisaremos da regra da cadeia. Assim:

d d y x 4 = 4 x 3 ⋅ x '

O que nos dará:

d d y y x 4 = 1 ⋅ x 4 + y ⋅ 4 x 3 x '

Ou seja:

d d y y x 4 = x 4 + 4 y x 3 x '

Prontinho, agora vamos voltar e substituir essas duas derivadas em nossa derivação original.

Passo 5

Tínhamos:

4 y 3 + d d y x 2 y 2 + d d y y x 4 = 1

Substituindo, ficamos com:

4 y 3 + 2 x y 2 x ' + x 2 2 y + ( x 4 + 4 y x 3 x ' ) = 1

Tirando os parênteses:

4 y 3 + 2 x y 2 x ' + x 2 2 y + x 4 + 4 y x 3 x ' = 1

Ajeitando um pouco melhor e deixando os termos que possuem x ' de um único lado da igualdade, termos:

2 x y 2 x ' + 4 y x 3 x ' = 1 - 4 y 3 - 2 y x 2 - x 4

Colocando x ' em evidência, ficamos com:

x ' 2 x y 2 + 4 x 3 y = 1 - 4 y 3 - 2 y x 2 - x 4

Isolando x ' , teremos finalmente:

x ' = 1 - 4 y 3 - 2 y x 2 - x 4 2 x y 2 + 4 x 3 y

E prontinho, temos nossa derivada que foi calculada implicitamente.

Resposta

x ' = 1 - 4 y 3 - 2 y x 2 - x 4 2 x y 2 + 4 x 3 y

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