Determine dy/dx da seguinte expressão x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Para obtermos d y / d x , derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

d d x ( x 3 + y 3 ) = d d x ( 1 )

Passo 2

Aplicamos a regra da soma de derivadas no primeiro termo a esquerda e a regra da constante no termo a direita, no qual a derivada de 1 resultará em 0, teremos:

d d x ( x 3 ) + d d x ( y 3 ) = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas temos que o primeiro termo usaremos a regra da potência enquanto que o segundo termo será a derivada implícita, obtida por uma regra da cadeia:

3 x 3 - 1 + 3 y 3 - 1 d y d x = 0 → 3 x 2 + 2 y 2 d y d x = 0

Passo 4

Isolando o termo d y d x , passando o 3 x 2 para o lado direito da igualdade, temos :

3 y 2 d y d x = - 3 x 2

Passo 5

Passando o termo 3 y 2 dividindo para o lado direito e simplificando os termos semelhantes teremos: :

d y d x = - x 2 y 2

Passo 6

Para obter d 2 y d x 2 aplicamos a regra de derivação do quociente. Assim:

d 2 y d x 2 = - d d x ( x 2 ) y 2 - x 2 d d x ( y 2 ) ( y 2 ) 2

Passo 7

Para obter d 2 y d x 2 aplicamos a regra de derivação do quociente. Assim:

d 2 y d x 2 = - d d x ( x 2 ) y 2 - x 2 d d x ( y 2 ) ( y 2 ) 2 → d 2 y d x 2 = - d d x ( x 2 ) y 2 - x 2 d d x ( y 2 ) ( y 2 ) 2 → d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 + x 2 2 y d y d x y 4

Passo 8

Contudo, sabemos que:

d y d x = - x 2 y 2

Substituindo em d 2 y d x 2 :

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 + x 2 2 y ( - x 2 y 2 ) y 4 → d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 + x 2 2 y ( - x 2 y 2 ) 1 ⋅ 1 y 4 → d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - 2 x 4 y ⋅ 1 y 4

d 2 y d x 2 = - 2 x y 2 - 2 x 4 y 5

Resposta

Podemos reescrever o último resultado como:

d 2 y d x 2 = - 2 ( x y 3 + x 4 y 5 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados