Resolva.

dx/dt = x^2 - 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular as funções constantes, para isso precisamos achar as raízes de h x , onde:

d x d t = g t h x

Temos então que:

h x = x 2 - 1

Passo 2

Vamos então calcular as raízes igualando h x a 0 :

h x = x 2 - 1 = 0 → x = ± 1

Temos então que as funções contantes são:

x = ± 1

Passo 3

Agora vamos achar as soluções não constantes através da integral:

∫ d x h x = ∫ g t d t

Temos que:

d x d t = g t h x → d x h x = g t d t → d x x 2 - 1 = d t

Que na integral fica:

∫ d x x 2 - 1 = ∫ d t → - 1 2 ln ⁡ x + 1 + 1 2 ln ⁡ x - 1 = t + C → 1 2 ln ⁡ x - 1 ln ⁡ x + 1 = t + C → 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1 = t + C → e 1 2 ln ⁡ x - 1 x + 1 = e t + C → x - 1 x + 1 = e t e C   → x = 1 + e C e 2 t 1 - e C e 2 t

Resposta

x = ± 1 ou x = 1 + e C e 2 t 1 - e C e 2 t

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