Enunciado

Consulte o Exercício 40, da série de Exercícios 3.2. Um fabricante pode obter um lucro de $ 20 em cada item, se forem produzidos por semana no máximo 800 itens. O lucro decresce $ 0,02 por item acima de 800. Quantos itens deverão ser produzidos por semana, para que ele obtenha um lucro máximo?

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Vamos lá, precisamos encontrar a relação que o exercício descreve no formato de uma equação. A equação se comporta linearmente até 800 e depois há uma redução para os itens acima de 800 . Vamos ficar com a relação:

L x = x 20 - 0,02 x - 800

L x = x 20 - 0,02 x + 16

L x = - 0,02 x 2 + 36 x

Vamos derivar e encontrar onde a derivada se anula.

Passo 3

Derivando L :

d L d x = - 0 , 0 4 x + 36

Igualando a 0 :

- 0 , 0 4 x + 36 = 0

0,0 4 x = 36

x = 900

Então o lucro máximo será para 900 itens produzidos por semana!

Resposta

900

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