Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

82. a n = 1 n t g - 1 n

Passo 1

Fala, pessoal! Como vocês estão? Vamos fazer mais uma questão? Então, vem comigo!

Para saber se a sequência converge, o que temos que fazer é calcular o limite dela quando n → ∞ e ver se esse limite existe e é finito. Se sim, então a sequência é convergente. Se não, a sequência é divergente.

Primeiramente, a gente tem que notar que podemos separar a sequência como a multiplicação de duas sequências:

a n = 1 n ⋅ t g - 1 n = b n ⋅ c n

onde b n = 1 n e c n = t g - 1 n .

Passo 2

Na questão 10.1.81, a gente mostrou que

l i m n → ∞ b n = l i m n → ∞ t g - 1 n = π 2

Além disso, nós também sabemos que

l i m n → ∞ c n = l i m n → ∞ 1 n = 0 .

Pronto, agora temos todos os ingredientes para obter o limite da sequência.

Passo 3

No Teorema 1, nós temos a regra do produto (Regra 5), que diz que o limite do produto de sequências é igual ao produto dos limites:

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( b n ⋅ c n ) = B C

No passo anterior, nós já vimos os limites dessa sequências, então, usando B = π 2 e C = 0 , ficamos com

l i m n → ∞ a n = π 2 ⋅ 0 = 0

Ou seja, a sequência converge e seu limite é 0 .

Resposta

Convergente. l i m n → ∞ a n = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 3 n + 2 5 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 1 + 2 n n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. e n + e - n e 2 n - 1
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 2 n - 1 ! 2 n + 1 !
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = - 1 nn 3 n 3 + 2 n 2 + 1