Enunciado

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

117. a n = 2 n -   1 2 n

Passo 1

Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vem comigo que nós resolvemos juntos.

Para verificar a convergência da sequência, temos que saber se ela é limitada e monotônica. Se sim, então ela converge. Vamos começar testando se ela é limitada. Temos que reescrever a sequência da seguinte forma

a n = 2 n -   1 2 n = 1 -   1 2 n

Agora vai ficar mais fácil pra gente analisar se ela é limitada. Nós temos que notar que

0 <   1 2 n ≤ 1 2

Então, multiplicando por - 1 e somando 1 em ambos os lados, obtemos

-   1 2 ≤ - 1 2 n < 0

1 -   1 2 ≤ 1 - 1 2 n < 1

  1 2 ≤ a n < 1

Logo, como a sequência é limitada superior e inferiormente, então ela é limitada. Falta testar a monotonicidade.

Passo 2

Agora vamos testar a monotonicidade. Seguindo o mesmo raciocínio das questões anteriores, temos que

a n + 1   =   1 -   1 2 n   +   1 = 2 n   +   1   -   1 2 n   +   1   = 2 n   -   1 / 2 2 n  

e

a n = 1 -   1 2 n     =   2 n - 1 2 n

Então, tomando a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n = 2 n   -   1 / 2 2 n   -   2 n - 1 2 n   = 1 -   1 / 2 2 n  

a n + 1 - a n = 1 / 2 2 n = 1 2 n + 1 > 0  

⇒ a n + 1 >   a n  

Logo, podemos concluir que a sequência é crescente. Ou seja, a sequência é monotônica. Além disso, ela é limitada e, por isso, converge.

Resposta

Converge.

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