Enunciado

Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

76. a n = s e n h   ( l n   n )

Passo 1

E aí, gente! Preparados para mais uma resolução bem no estilo Responde Aí? Então, bora lá!

A ideia pra resolver essa questão é ver se existe o limite da sequência quando n → ∞ . Aí, a gente consegue saber se a sequência converge ou não para algum valor.

Antes de continuar, vamos tentar definir a função s e n h   ( l n   n ) . A definição de seno hiperbólico é a seguinte

s e n h   x = e x   -   e - x 2

Então, como e l n   x = x , dá pra gente ver que

s e n h   ( l n x ) = e l n   x   -   e - l n   x 2 = e l n   x   -   1 / e l n   x 2 = x   -   1 / x 2 = x 2 - 1 2 x .

Passo 2

Agora, a gente só precisa trocar x por n pra conseguir escrever o enésimo termo da sequência

a n = s e n h   ( l n   n ) = n 2 - 1 2 n

Vamos tomar o limite quando n → ∞ :

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ n 2 - 1 2 n = l i m n → ∞ n 2 - l i m n → ∞ 1 2 n

O segundo termo tende a zero mas o primeiro tende a . Então, esse é o termo que manda e a gente fica com

l i m n → ∞ a n → ∞

e isso quer dizer que a sequência é divergente.

Resposta

Divergente.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule underset(n - + oo)(lim) (1 + (1)/(2) + (1)/(3) + ... + (1)/(n)) (Sugestão: (1)/(2^k) + (1)/(2^k + 1) + ... + (1)/(2^(k + 1) - 1)(1)/(2) para k = 0 .
Seja f x = x 2 , x ∈ 0,1 . Considere as sequências s n = f 0 1 n + f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n E S n = f 1 n 1 n + f 2 n 1 n + … + f n - 1 n 1 n + f 1 1 n. Calculea) lim n → +
Sabe-se que a sequência a 1 = 2 ,a 2 = 2 2 , a 3 = 2 2 2 , ..., é convergente. Calcule lim n → + ∞ ⁡ a n .
Prove que underset(x - 0)(lim) sen (1)/(x) não existe.
Seja f x = xs ex ∈ Q - xs ex ∉ Q a) Calcule lim x → 0 ⁡ f x .b) Mostre que, para todo p ≠ 0 , lim x → p ⁡ f x não existe.