Calcule

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

(Sugestão: 1 / 2^k + 1 / (2^k + 1) + ... + 1 / (2^(k+1) - 1) > 1 / 2 para k >= 0 .

Passo 1

Temos que:

1 > 1 2

1 2 + 1 3 > 1 4 + 1 4 = 1 2

1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 > 4 8 = 1 2

E por sequência:

1 2 k + 1 2 k + 1 + … + 1 2 k + 1 - 1 > 2 k 2 k + 1 = 1 2

Passo 2

Somarmos todas as inequações, tomando 1 2 k + 1 - 1 = 1 n teremos a soma de n termos de um lado e k vezes 1 2 no outro lado, ou seja:

1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n > k × 1 2

Assim, se tomarmos 1 2 k + 1 - 1 = 1 n :

Para n tendendo ao infinito, seu inverso tende a zero, então 1 2 k + 1 - 1 deve tender a zero e para isso, 2 k + 1 - 1 deve tender ao infinito. Isso só acontece se k tender ao infinito, logo:

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n > lim k → + ∞ ⁡ k × 1 2

Como lim k → + ∞ ⁡ k × 1 2 = + ∞

Para a soma ser maior que o infinito, só se essa soma também convergir para o infinito.

Logo:

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n = + ∞

Resposta

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n = + ∞

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