É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 1 ∞ e 1 x x 2   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Sabemos que se x ≥ 1 , temos que

1 x ≤ 1

Assim, segue que

1 ≤ e 1 x ≤ e

Assim, como x 2 ≥ 1 , temos que

e 1 x x 2 ≤ e x 2

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ 1 x α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 2 , de modo que a integral

∫ 1 ∞ e x 2   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

e 1 x x 2 ≤ e x 2

E a integral

∫ 1 ∞ e x 2   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 1 ∞ e 1 x x 2   d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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