É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 0 ∞ x e - x x 2 + x + 1   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Bom, sabemos que para x ≥ 0

x 2 + x ≥ x 2 ⇒ x 2 + x + 1 ≥ x 2

Assim, tirando a raiz

x 2 + x + 1 ≥ x ⇒ x x 2 + x + 1 ≤ 1

Logo,

0 ≤ x e - x x 2 + x + 1 ≤ e - x

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ 0 ∞ e - α x   d x

sempre convergem se α > 0 . Neste caso, temos α = 1 , de modo que a integral

∫ 0 ∞ e - x   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

0 ≤ x e - x x 2 + x + 1 ≤ e - x

E a integral

∫ 0 ∞ e - x   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 0 ∞ x e - x x 2 + x + 1   d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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