Se 2 - x^2 <= g(x) <= 2 \* cos(x) para qualquer x , determine

lim x → 0 ⁡ g ( x )

Passo 1

Nessas questões em que ele fala que a sua função está limitada por outras duas a boa é usar o teorema do confronto ou do sanduiche para os íntimos!

Passo 2

Legal, mas quais as funções dos extremos? Ele mesmo já deu f x = 2 - x 2 e h x = 2 cos ⁡ x .

Então pelo teorema, vamos ter que

lim x → 0 ⁡ f ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ g x ≤ lim x → 0 ⁡ h ( x )

lim x → 0 ⁡ 2 - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x

Passo 3

Agora precisamos determinar o valor dos limites das pontas. Vamos começar com o da esquerda e lembre sempre que a primeira coisa a fazer com limites e substituir o valor do ponto:

lim x → 0 ⁡ 2 - x 2 = 2 - 0 2 = 2

Agora o da direita

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x = 2 cos ⁡ 0 = 2

Passo 4

Agora para uma coisa ser ao mesmo tempo maior ou igual a 2 e menor ou igual a 2 , ela tem que ser na verdade igual a 2 (essa é a lógica do teorema do confronto).

Logo,

lim x → 0 ⁡ g x = 2

Resposta

2

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