Enunciado

Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x > 1

10 e x - 21 2 e x < f x < 5 x x - 1

Passo 1

Olá, meu amigo.

Bom, essa questão pede para gente calcular lim x → ∞ ⁡ f ( x ) para todo x > 1 , sabendo que

10 e x - 21 2 e x < f x < 5 x x - 1

Repara que aqui não sabemos que é f ( x ) , só sabemos que ela é uma função que esta entre duas funções conhecidas.

Então se liga nessa dica aqui:

Para encontrar o limite da função f ( x ) sabendo apenas que ela está entre as duas funções dadas podemos utilizar o teorema do confronto.

Ele é perfeito para situações do tipo.

O teorema do confronto diz que:

Sejam f ( x ) , g x e h ( x ) funções reais definida no domínio D   ∈   R e seja a um ponto dentro desse domínio, se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g ( x ) = lim x → a ⁡ h ( x ) = L

Então

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Isso porque, se aplicarmos os limites

lim x → a ⁡ g ( x ) ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h ( x )

L ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ L

Ou seja, se as funções que estão envolvendo a função f ( x ) tendem para o mesmo valor L , então a f ( x ) também tenderá para L , pois ela não terá escapatória rsrsr.

Partiu ver isso acontecendo.

Passo 2

Como o enunciado disse que

10 e x - 21 2 e x < f x < 5 x x - 1

Vamos pensar que:

lim x → a ⁡ g ( x ) ≤ lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h ( x )

E calcularemos o limite em cada lado da inequação, primeiro:

lim x → ∞ ⁡ 10 e x - 21 2 e x

Dividindo todo mundo por e x

lim x → ∞ ⁡ 10 e x - 21 ⋅ 1 e x 2 e x ⋅ 1 e x

lim x → ∞ ⁡ 10 - 21 e x 2

E calculando o limite, encontraremos:

= 10 - 0 2 = 5

Passo 3

Agora, calcularemos o limite do outro lado da inequação:

lim x → ∞ ⁡ 5 x x - 1

= lim x → ∞ ⁡ 5 x ⋅ 1 x x - 1 ⋅ 1 x

= lim x → ∞ ⁡ 5 1 - 1 x

E aplicando o limite, teremos:

= 5 1 - 0 = 5

Passo 4

Como,

10 e x - 21 2 e x < f x < 5 x x - 1

Então, pelo teorema do confronto,

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 5

Resposta

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que a função secante é contínua em seu domínio.
Use o teorema do “sanduíche” para encontrar o limite. lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ 1 x
Dado: - sin x = f (x) = 2 + sin x para todo x no intervalo aberto (- pi , 0) . Ache underset(x - - (pi)/(2))(lim) f (x) .
Dado: 1 - cos^2 x = f (x) = x^2 para todo x no intervalo aberto (- (1)/(2) pi , (1)/(2) pi) . Ache underset(x - 0)(lim) f (x) .
Prove que a função secante é contínua em seu domínio.