Enunciado

Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i ampères em t s, então i = d q d t . Se i = 5 s e n ( 60 t ) e q = 0 quando t = π 2 , ache a carga positiva máxima no condensador.

Passo 1

Uma interpretação da derivada é a que ela representa a variação de uma grandeza em relação a outra. No caso desse exercício, a grandeza que varia é a carga elétrica no tempo, o que dá origem a corrente elétrica! Como dado no enunciado, a corrente i pode ser escrita como i = d q d t . Nos foi pedido a carga positiva no condensador, ou seja, q(t). Também nos foi dada o valor pra corrente e da carga em um determinado instante de tempo. Vamos montar nosso problema abaixo.

q t = ∫ d q Como podemos obter dq para substituirmos na integral e encontrar a carga máxima? Através da relação da corrente que nos foi dada!

i = d q d t d q = i   d t d q = 5 s e n 60 t d t

Agora temos todas as informações para resolver o problema!

q t = ∫ 5 s e n 60 t d t

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

q t = ∫ 5 s e n 60 t d t q t = 5 ∫ s e n 60 t d t q t = 5 - cos ⁡ 60 t 60 + K q t = - 5 60 cos ⁡ 60 t + K

Passo 3

Uma vez obtida equação da carga, vamos aplicar o valor inicial dado no enunciado para descobrirmos quanto vale a constante K. Assim,

q π 2 = 0 q π 2 = - 5 60 cos ⁡ 60 π 2 + K = 0 - 1 12 cos ⁡ 30 π + K = 0

Como o cosseno de 30 π é igual a 1, temos: - 1 12 + K = 0 K = 1 12

Portanto,

q t = - 1 12 cos ⁡ 60 t + 1 12

Passo 4

O enunciado pede o valor da carga positiva máxima no condensador. Vamos olhar para a equação da carga elétrica;

q t = - 1 12 cos ⁡ 60 t + 1 12 Para que essa quação atinja seu valor máximo, a função cosseno precisa assumir o seu menor valor, ou seja, -1. Isso acontecendo teremos que:

q t = - 1 12 * - 1 + 1 12 q t = 1 12 + 1 12 q t = 2 12 = 1 6

Resposta

A carga positiva máxima é:

q t = 1 6

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