Enunciado

  1. Use a substituição u = t g   x 2 para mostrar que
  2. ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ 1 + t g x 2 1 - t g x 2 + C

    E confirme que isso é consistente com a Fórmula (22) da Seção 7.3.

  3. Use o resultado de (a) para mostrar que

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ t g π 4 + x 2 + C

Passo 1

(a) Usar essa substituição, na verdade, é fazer essas substituições na integral:

s e n   x = 2 u 1 + u 2

cos ⁡ x = 1 - u 2 1 + u 2

d x = 2 1 + u 2 d u

E depois calcular. Vamos nessa!

Passo 2

Reescrevendo nossa integral:

∫ sec ⁡ x d x = ∫ 1 cos ⁡ x d x

Fazendo as substituições:

∫ 1 + u 2 1 - u 2 ⋅ 2 1 + u 2 d u = ∫ 2 1 - u 2 d u

Usando a fórmula 69, com a = 1 :

∫ 2 1 - u 2 d u = ln ⁡ u + 1 u - 1 + C

E a gente está usando a substituição u = t g x 2

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ t g x 2 + 1 t g x 2 - 1 + C

Aí só para deixar igualzinho ao que ele pede, como estamos trabalhando com módulo:

t g x 2 - 1 = 1 - t g x 2

Podemos então escrever que:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ 1 + t g x 2 1 - t g x 2 + C

Como pedido.

Passo 3

Para mostrar que isso é igual a:

∫ sec ⁡ x = ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + C

Vamos ter que usar umas identidades trigonométricas. Segura na minha mão e vamos juntos!

Primeiro a gente abre essas tangentes, faz o MMC e simplifica:

1 + t g x 2 1 - t g x 2 = 1 + s e n x 2 cos ⁡ x 2 1 - s e n x 2 cos ⁡ x 2 = cos ⁡ x 2 + s e n x 2 cos ⁡ x 2 - s e n x 2

Vamos multiplicar em cima e embaixo por cos ⁡ x 2 + s e n x 2 e lembrar dos produtos notáveis:

= cos 2 ⁡ x 2 + 2   s e n x 2 cos ⁡ x 2 + s e n 2 x 2 cos 2 ⁡ x 2 - s e n 2 x 2

Agora a gente lembra de 3 identidades trigonométricas que vão nos ajudar:

cos 2 ⁡ x 2 + s e n 2 x 2 = 1

2   s e n x 2 cos ⁡ x 2 = s e n   x

cos 2 ⁡ x 2 - s e n 2 x 2 = cos ⁡ x

Substituindo elas nas nossas continhas:

= 1 + s e n   x cos ⁡ x = 1 cos ⁡ x + s e n   x cos ⁡ x = sec ⁡ x + t g   x

Voltando para o resultado da nossa integral:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ 1 + t g x 2 1 - t g x 2 + C = ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + C

Era onde a gente precisava chegar! Ufa!

Passo 4

(b) Vamos usar a identidade trigonométrica:

t g a + b = t g   a + t g   b 1 - t g   a ⋅ t g   b

Para abrir o termo:

t g π 4 + x 2 = t g π 4 + t g x 2 1 - t g π 4   t g x 2

E a gente sabe que:

t g π 4 = 1

Então:

t g π 4 + x 2 = t g π 4 + t g x 2 1 - t g π 4   t g x 2 = 1 + t g x 2 1 - t g x 2

E isso é exatamente o que achamos em (a):

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ 1 + t g x 2 1 - t g x 2 + C

Então podemos dizer:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ t g π 4 + x 2 + C

Resposta

Prova nos passos

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