Enunciado

Use a substituição u   =   t g   ( x / 2 ) para mostrar que

∫ c o s s e c   x d x = 1 2 ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C

e confirme que isso é consistente com o resultado do Exercício 65(a) da Seção 7.3.

Passo 1

Usar essa substituição, na verdade, é fazer essas substituições na integral:

s e n   x = 2 u 1 + u 2

cos ⁡ x = 1 - u 2 1 + u 2

d x = 2 1 + u 2 d u

E depois calcular. Vamos nessa!

Passo 2

Reescrevendo nossa integral:

∫ cossec ⁡ x d x = ∫ 1 sen ⁡ x d x

Fazendo as substituições:

∫ 1 + u 2 2 u ⋅ 2 1 + u 2 d u = ∫ 1 u d u = ln ⁡ | u |

E a gente está usando a substituição u = t g x 2

∫ cossec ⁡ x d x = ln ⁡ t g x 2

Aí só para deixar igualzinho ao que ele pede. Vamos transformar essa tangente num t g 2 x 2 usando umas propriedades de log:

ln ⁡ t g x 2 = ln ⁡ t g 2 x 2 1 2 = 1 2 ln ⁡ s e n 2 x 2 cos 2 ⁡ x 2

Podemos substituir ali esss duas identidades trigonométricas:

s e n 2 x 2 = 1 - cos ⁡ x 2 ,     cos 2 ⁡ x 2 = 1 + cos ⁡ x 2

Substituindo e simplificando:

1 2 ln ⁡ s e n 2 x 2 cos 2 ⁡ x 2 = 1 2 ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Voltando para a integral:

∫ c o s s e c   x d x = 1 2 ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C

Como pedido.

Passo 3

Para mostrar que isso é igual a:

∫ cossec ⁡ x = - ln ⁡ cossec ⁡ x + c o t g   x + C

Vamos ter que usar umas identidades trigonométricas. Segura na minha mão e vamos juntos! Começando do termo com log:

1 2 ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Dá para a gente multiplicar o argumento, em cima e embaixo, por 1 + cos ⁡ x e lembrar dos produtos notáveis:

= 1 2 ln ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2

Lembrando que:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 ∴ s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Substituindo na nossa conta:

= 1 2 ln ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 = 1 2 ln ⁡ s e n 2 x 1 + cos ⁡ x 2 = 1 2 ln ⁡ c o s s e c   x + c o t g   x - 2 =

= - ln ⁡ c o s s e c   x + c o t g   x

Voltando para a integral:

∫ c o s s e c   x d x = 1 2 ln ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x + C = - ln ⁡ c o s s e c   x + c o t g   x + C

Era onde a gente precisava chegar! Ufa!

Resposta

Prova nos passos

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