Enunciado

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

A cardioide r = 1 + cos ⁡ θ .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ 1 + cos ⁡ θ = - s e n   θ

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, sabemos que os limites da cardioide são de 0 a 2 π , porem vamos trabalhar apenas com metade da cardioide e multiplicar o comprimento por 2 para não termos problemas futuros, bora:

L = ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ θ 2 + - s e n   θ 2 d θ

L = 2 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + s e n 2   θ   d θ

L = 2 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ θ + ( 1 - s e n 2   θ ) + s e n 2   θ   d θ

L = 2 ∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ θ   d θ = 2 ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ θ 2   d θ

Das relações trigonométricas 1 + cos ⁡ θ 2 = cos ⁡ θ 2

L = 4 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2 d θ

L = 4 2 s e n θ 2 0 π

L = 8

Bora pra próximo.

Resposta

L = 8

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