Enunciado

Uma curva passa pelo ponto ( 0,5 ) e tem a propriedade de que a inclinação da curva em todo ponto P é duas vezes a coordenada y de P . Qual a equação da curva?

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😊

Temos nesse caso, uma curva y ( x ) = f ( x ) . Sabemos que f 0 = y ( 0 ) = 5 e a inclinação da curva, ou seja, sua derivada, é sempre o dobro de y ( x ) . Em termos matemáticos, isto é:

y ' x = 2 y ( x )

ou

d y d x = 2 y

Bora começar! 👀

Passo 2

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Nesse caso k = 2 e t = x , então vamos substituir na equação exponencial:

y x = y 0 e 2 x

Como f 0 = y ( 0 ) = 5 então:

y x = 5 e 2 x

Logo, a função procurada é y = 5 e 2 x .

O que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

A função procurada é y = 5 e 2 x .

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