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10) Uma amostra de trítio-3 decai para 94,5 % de sua quantidade original depois de um ano.

(a) Qual é a meia-vida do trítio-3?

(b) Quanto tempo levaria para a amostra decair para 20 % de sua quantidade original?

Passo 1

Item a:

O tempo de meia-vida é o tempo necessário para uma perder metade de sua massa original. Nos foi dado o tempo em que o trítio-3 chega a 94,5 % de sua quantidade original que é um ano.

Como a taxa de decaimento relativa ( k ) é sempre constante, podemos relacionar massa do trítio-3 com uma equação exponencial do tipo: y t = y 0 e k t

Nessa equação, y t é a massa do trítio-3 em função do tempo t em anos e y 0 é a massa inicial da amostra.

Precisamos achar, primeiramente, o k e para isso sabemos que em um ano trítio-3 chega a 94,5 % da amostra inicial, logo:

y 1 = y ( 0 ) × 0,945

Vamos agora aplicar isso na equação exponencial:

y 1 = y ( 0 ) × 0,945 = y 0 e k × ( 1 )

y ( 0 ) × 0,945 = y 0 e k

0,945 = e k ⇒ ln ⁡ e k = l n ⁡ ( 0,945 )

k = l n ⁡ ( 0,945 )

Como queremos o tempo necessário para a massa chegar a metade, nós queremos o t para que y t = y 0 2 , aplicando isso na equação exponencial temos:

y t = y 0 2 = y 0 e k t

1 2 = ( 1 ) e l n ⁡ ( 0,945 ) × t

0,945 t = 1 2 ⇒ ln ⁡ 0,945 t = ln ⁡ 1 2

t = ln ⁡ 1 2 ln ⁡ 0,945 = 12,25283496 (Anos)

Logo, o tempo de meia vida do trítio-3 é de aproximadamente 12,3 anos.

Passo 2

Item b:

Se queremos o tempo para a amostra decair para 20 % de sua quantidade original então queremos o t em anos em que y t = 0,2 × y ( 0 ) , então:

y t = 0,2 × y ( 0 ) = y 0 e k t

0,2 = e l n ⁡ ( 0,945 ) × t

0,945 t = 0,2 ⇒ ln ⁡ 0,945 t = ln ⁡ 0,2

t = ln ⁡ 0,2 ln ⁡ 0,945 = 28,45020174 (Anos)

Logo, o tempo para a amostra decair para 20 % de sua quantidade original é de aproximadamente 28,5 anos.

Resposta

(a) O tempo de meia vida do trítio-3 é de aproximadamente 12,3 anos.

(b) O tempo para a amostra decair para 20 % de sua quantidade original é de aproximadamente 28,5 anos.

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