Enunciado

Curvas normais Uma curva lisa é normal a uma superfície

ƒ(x, y, z) = c em um ponto de interseção se o vetor velocidade da curva é um múltiplo escalar diferente de zero de §ƒ no

ponto.

Mostre que a curva

rstd = 2ti + 2tj - 1

4 st + 3dk

é normal à superfície x2 + y2 – z = 3 quando t = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Uma curva suave é normal à superficie f ( x , y , z ) = c no ponto de interseção se a velocidade do vetor da curva é um escalar múltiplo do gradiente de f nesse ponto. Neste exercício, mostraremos então que:

r ( t ) = t i + t j - 1 4 ( t + 3 ) k

É normal à superfície x 2 + y 2 - z = 3 quando t = 1 . Acompanhe!

Passo 2

Para a função r ( t ) = t i + t j - 1 4 ( t + 3 ) k teremos que o vetor da curva é:

v = 1 2 t - 1 / 2 i + 1 2 t - 1 / 2 j - 1 4 k

Aplicando t = 1 , temos que: x = 1 , y = 1 , z = - 1 . Logo estaremos no ponto P 0 = ( 1,1 , - 1 ) .Agora, aplicando t = 1 em v = 1 2 t - 1 / 2 i + 1 2 t - 1 / 2 j - 1 4 k obteremos:

v ( 1 ) = 1 2 i + 1 2 j - 1 4 k

Vamos agora reescrever a função x 2 + y 2 - z = 3 , e encontramos:

f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z - 3 = 0 . 

Calcularemos agora o gradiente de f ( x , y , z ) :

∇ f = 2 x i + 2 y j - k

Aqui, aplicaremos o ponto P 0 = ( 1,1 , - 1 ) no gradf.

∇ f ( 1,1 , - 1 ) = 2 i + 2 j - k

Temos,s portanto, que v = 1 4 ( ∇ f ) , ou seja, a curva é normal à superficie.

Resposta

Resposta nos passos.

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