Enunciado

Dada f t = 3 + t - t - 3 t , expresse f t sem as barras de valor absoluto, se t estiver no intervalo dado: - ∞ ,   - 3

Passo 1

Vamos analisar cada módulo separadamente e ver qual sinal deles devemos considerar de acordo com o intervalo dado. Lembre-se da definição de módulo:

t = t ,   s e   t ≥ 0 - t ,   s e   t < 0

E se temos t - a e a   ϵ   R .

t - a = t - a ,   s e   t ≥ a - t - a   ,   s e   t < a

Passo 2

Vamos analisar o 1º módulo: | 3 + t |

Antes de tudo, é bom escrever ele do jeito que definimos acima, como: | t - a |

3 + t = t - - 3

Agora sim! Pense como se o a = - 3 . Daí vemos que o nosso eixo de simetria é no ponto x = - 3 . Reescrevendo o módulo:

t - ( - 3 ) = t - - 3 ,   s e   t ≥ - 3 - t - - 3   ,   s e   t < - 3

Pra acabar com esse módulo é só ver onde o módulo se encaixa no nosso intervalo de análise: x < - 3 . O caso do módulo que satisfaz isso é a 2ª linha dele, então ficamos com:

3 + t = - 3 + t = - t - 3

Substituindo na função:

f t = - t - 3 - t - 3 t

Agora vamos ao outro módulo

Passo 3

Do outro módulo que temos na função: | t |

Esse é fácil, se estivermos considerando números negativos, ficamos com t = - t e se considerarmos os números não negativos: t = t . Ou seja:

t = t ,   s e   t ≥ 0 - t ,   s e   t < 0

Como o nosso intervalo de análise é x < - 3 , vamos ficar com o 2º caso do módulo, t = - t .

Substituindo na função:

f t = - t - 3 - ( - t ) - 3 t

Simplificando, temos a nossa f bonitinha:

f t = - 6 t

Resposta

f t = - 6 t

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