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Dada

f x = k x - 3 s e x ≤ - 1 x 2 + k s e - 1 < x

Ache o valor de k para o qual o lim x → - 1 ⁡ f x existe.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de - 1 .

Que se resume a:

lim x → - 1 + ⁡ f x

lim x → - 1 - ⁡ f x

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita:

lim x → - 1 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de - 1 .

Aqui vai ser x 2 + k .

Logo, vamos ter

lim x → - 1 + ⁡ x 2 + k = - 1 2 + k = 1 + k

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → - 1 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de - 1 .

Aqui vai ser k x - 3 .

Logo, vamos ter

lim x → - 1 - ⁡ k x - 3 = k - 1 - 3 = - k - 3

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

1 + k ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = - k - 3 ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

1 + k = - k - 3

k + k = - 3 - 1

2 k = - 4

k = - 2

Resposta

k = - 2

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