Enunciado

Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso.

f x = 2 s e x < - 2 4 - x 2 s e - 2 ≤ x ≤ 2 - 2 s e x > 2

a ) lim x → - 2 - ⁡ f x

b ) lim x → - 2 + ⁡ f x

c ) lim x → - 2 ⁡ f x

d ) lim x → 2 - ⁡ f x

e ) lim x → 2 + ⁡ f x

f ) lim x → 2 ⁡ f x

Passo 1

Vamos começar fazendo um esboço de f x . Para isso temos que entender um pouquinho só como é essa nossa f x

O enunciado disse que

f x = 2 s e x < - 2 4 - x 2 s e - 2 ≤ x ≤ 2 - 2 s e x > 2

Então temos uma reta constante até x = - 2 ,

Ali entre o - 2   e 2 , temos que analisar com calma. Vamos olhar essa funçã

y = 4 - x 2

Elevando os dois lados ao quadrado

y 2 = 4 - x 2

y 2 + x 2 = 4

Isso é uma circunferência de raio 2 , centrada na origem. Então de - 2 a 2 , vamos ter uma semicircunferência de raio 2 centrada na origem.

Terminando com outra reta constante a partir de x = 2

Para fazer esse gráfico, devemos fazer a reta 2 até x = - 2 , Colocando bola aberta no ponto - 2,2

Depois, fazemos a semicircunferência 4 - x 2 de x = - 2 e x = 2 , colocando aquela bola fechada no inicio e final dela.

Depois, fazemos a reta - 2 a partir de x = 2 , colocando bola aberta no ponto 2 , - 2 .

Passo 2

Letra a )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → - 2 - ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de - 2 pela esquerda. Que é se aproximar de - 2 por valores menores que - 2 .

Olhando o gráfico, chegando perto de - 2 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 2 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = - 2 , a reta azul chega muuuuuito perto de 2 na verdade.

lim x → - 2 - ⁡ f x = 2

Passo 3

Letra b )

Agora o outro

lim x → - 2 + ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de - 2 pela direita. Que é se aproximar de - 2 por valores maiores que - 2 .

Olhando o gráfico, chegando perto de - 2 pela direita, a nossa função se aproxima de 0 .

lim x → - 2 + ⁡ f x = 0

Passo 4

Letra c )

lim x → - 2 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em - 1 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 2 e 0 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Passo 5

Letra d )

Agora vamos aos limites que ele pediu

lim x → 2 - ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 2 pela esquerda. Que é se aproximar de 2 por valores menores que 2 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 2 pela esquerda, a nossa função se aproxima de 0 .

lim x → 2 - ⁡ f x = 0

Passo 6

Letra e )

Agora o outro

lim x → 2 + ⁡ f x

Aqui, temos que ver o comportamento da função quando x se aproxima de 1 pela direita. Que é se aproximar de 2 por valores maiores que 2 .

Olhando o gráfico, chegando perto de 2 pela direita, a nossa função se aproxima de - 2 .

Mesmo que ela de fato seja 0 em x = 2 , a reta azul chega muuuuuito perto de - 2 na verdade.

lim x → 2 + ⁡ f x = - 2

Passo 7

Letra f )

lim x → 2 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 2 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 0 e - 2 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe

Resposta

a )

lim x → - 2 - ⁡ f x = 2

b )

lim x → - 2 + ⁡ f x = 0

c )

Não existe o limite

d )

lim x → 2 - ⁡ f x = 0

e )

lim x → 2 + ⁡ f x = - 2

f )

Não existe o limite

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Calcule. lim x → p ⁡ x n - p n x - p
Suponha f contínua em R e f x ≥ 0 para todo x racional. Prove que f x ≥ 0 para todo x .