Enunciado

Dada

f (x) = {[[k,x,-,3,s,e,x,<=,-,1],[x^2,+,k,s,e,-,1,<,x]])

Ache o valor de k para o qual o underset(x -> - 1)(lim) f (x) existe.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de - 1 .

Que se resume a:

underset(x -> - 1^+)(lim) f (x)

underset(x -> - 1^-)(lim) f (x)

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita:

underset(x -> - 1^+)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de - 1 .

Aqui vai ser x^2 + k .

Logo, vamos ter

underset(x -> - 1^+)(lim) x^2 + k = (- 1)^2 + k = 1 + k

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

underset(x -> - 1^-)(lim) f (x)

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de - 1 .

Aqui vai ser k x - 3 .

Logo, vamos ter

underset(x -> - 1^-)(lim) k x - 3 = k (- 1) - 3 = - k - 3

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

underset(l i m i t e p e l a d i r e i t a)(ubrace 1 + k) = underset(l i m t i e p e l a e s q u e r d a)(ubrace - k - 3)

1 + k = - k - 3

k + k = - 3 - 1

2 k = - 4

k = - 2

Resposta

k = - 2

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