Enunciado

Numa dada cidade a população atual é de 380.000 habitantes. Se a população apresenta uma taxa de crescimento anual de 1,5 % , estime o tempo necessário para a população duplicar. Use um modelo de crescimento exponencial.

Passo 1

Então pessoal, o enunciado já nos indica o caminho que devemos seguir para resolver esse problema! Um modelo de crescimento exponencial para crescimento populacional é dado da seguinte forma:

P ( t ) = P o . i t

No qual:

P ( t ) = População depois de um certo tempo t ;

P o = População inicial;

i = razão entre a população de um ano e a de um ano anterior;

t = tempo.

De acordo com o enunciado nós dsabemos que P o = 380.000 , certo? Sendo assim, o que precisamos determinar agora é apenas i .

Passo 2

Como dito, i é a razão entre a população d eum ano e a de um ano anterior. Depois de um ano a população será:

1,5 100 . 380.0 0 0 = 5700

Fazendo a razão:

i = 385.700 380.000 = 1,015

Substituindo na equação de crescimento, teremos:

P t = 380000 . 1,015 t

Passo 3

O que queremos saber é qual o tempo necessário para a população inicial duplicar, isto é, P t = 2.380000 = 760000 , então basta substituirmos na equação, se liga:

760000 = 380000 . 1,015 t

1,015 t = 2

Aplicando l n em ambos os lados, teremos:

ln ⁡ 1,015 t = ln ⁡ 2

t . ln ⁡ 1,015 = ln ⁡ 2 ⇒ t = ln ⁡ 2 ln ⁡ 1,015

∴ t ≅ 47   a n o s

Resposta

t ≅ 47   a n o s

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