Enunciado

Dada f x = x 3 + 3 x - 1 . ( a ) No mesmo conjunto de eixos faça esboços dos gráficos das funções f e f - 1 . ( b ) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,3 ) . ( c ) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de f - 1 no ponto ( 3,1 ) .

Passo 1

( a ) Sabemos que o gráfico de uma função cubica será uma curva, mas não sabemos a natureza dessa curva. Então vamos começar analisando a derivada de f x :

f x ' = 3 x 2 + 3

Repare, com muito carinho, que f x ' será sempre positiva para qualquer x real, logo nossa curva deve ser sempre crescente!!

Isso significa que nossa curva vem crescendo desde - ∞ , passa próxima a origem dos eixos cartesianos e vai pra + ∞ . Sabendo que a curva também passa nos ponto A = 0 , - 1 e B = ( 1,3 ) , vamos esboçar!

Sabendo que o gráfico de   f - 1 e´o reflexo do gráfico de f em relação a reta y = x , teremos que:

Onde f está em verde e f - 1 em azul.

Passo 2

( b ) Agora para descobrir a inclinação da reta tangente ao gráfico basta calcularmos f ' ( 1 ) :

f 1 ' = 3 1 2 + 3

f 1 ' = 6

Passo 3

( c ) Agora, para calcular f - 1 ' 3 devemos nos lembrar de que:

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Onde f c = d

No nosso caso f 1 = 3 , então:

f - 1 ' 3 = 1 f ' ( 1 )

f - 1 ' 3 = 1 6

Resposta

a

b f 1 ' = 6

( c )   f - 1 ' 3 = 1 6

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