Dada

f x = e x - e - x e 2 x - e - 2 x s e x = 0 1 s e x ≠ 0

a) f é contínua em 0 ?

b) Ache lim x → + ∞ ⁡ f x , se existir.

Passo 1

Letra a

Para determinar se esa função é contínua, devemos achar o limite em 0 e verificar se ele é igual a 1 , pois esse é o valor da função em x = 0 .

Fora desse ponto temos uma função contínua sempre.

Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x e 2 x - e - 2 x

Primeiro vamos substituir o valor de x = 0

lim x → 0 ⁡ e x - e - x e 2 x - e - 2 x = e 0 - e - 0 e 2 0 - e - 2 0 = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Opa, deu uma indeteimrnação. Vamos trabalhar isso aí

Passo 2

Primeiro, vamos reparar que:

e 2 x - e - 2 x = e x 2 - e - x 2

Esse é um produto notável, a 2 - b 2 = a + b a - b , então:

e 2 x - e - 2 x = e x 2 - e - x 2 = e x - e - x e x + e - x

Voltando para o limite

lim x → 0 ⁡ e x - e - x e x - e - x e x + e - x

Simplificando:

lim x → 0 ⁡ 1 e x + e - x = 1 e 0 + e - 0 = 1 2

Como esse valor é diferente do valor da função no ponto, ela não é continua em x = 0

Passo 3

Letra b

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ e x - e - x e 2 x - e - 2 x

Mas já arrumarmos aquela expressão da função:

lim x → + ∞ ⁡ e x - e - x e 2 x - e - 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x + e - x = 1 e ∞ + e - ∞ = 1 ∞ = 0

Resposta

Letra a

Não é continua

Letra b

0

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