Enunciado

O átomo de hidrogênio é composto por um próton no núcleo e um elétron, que se move ao redor do núcleo. Na teoria quântica de estrutura atômica supõe-se que o elétron não se mova em uma órbita bem definida. Ao contrário, ele ocupa um estado conhecido como o r b i t a l , que pode ser pensado como uma “nuvem” de carga negativa rodeando o núcleo. No estado de energia mais baixa, chamado e s t a d o   f u n d a m e n t a l , ou o r b i t a l   1 s , é suposto que o formato do orbital seja uma esfera com centro no núcleo. Essa esfera é descrita em termos da função densidade de probabilidade

p r = 4 a 0 3 r 2 e - 2 a 0   r ≥ 0

onde a 0 é o r a i o   d e   B o h r ( a 0 ≈ 5,59 × 10 - 11   m ) . A integral

P r = ∫ 0 r 4 a 0 3 s 2 e - 2 a 0   d s

dá a probabilidade de o elétron ser encontrado dentro da esfera de raio   r metros centrada no núcleo.

  1. Verifique se p ( r ) é uma função densidade de probabilidade.
  2. Encontre lim r → ∞ ⁡ p ( r ) Para que valor de r a função p ( r ) tem seu valor máximo?
  3. Desenhe a função densidade.
  4. Calcule a probabilidade de o elétron estar dentro da esfera de raio 4 a 0 centrada no núcleo.
  5. Calcule a distância média do elétron e do núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a função p r = 4 a 0 3 r 2 e - 2 a 0 , se r ≥ 0 é uma função densidade de probabilidade. Depois, encontrar o lim r → ∞ ⁡ p ( r ) Para que valor de r a função p ( r ) tem seu valor máximo, desenhar a função densidade, calcular a probabilidade de o elétron estar dentro da esfera de raio 4 a 0 centrada no núcleo e calcular a a distância média do elétron e do núcleo no estado fundamental do átomo de hidrogênio.

Em geral, a função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória X satisfaz f x ≥ 0 para todo x . Além disso, como as probabilidades são medidas em uma escala de 0 até 1 , segue que:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = 1

Então, o que precisamos fazer é provar que p ( r ) é maior ou igual a zero para todo r e verificar se a integral da função de - ∞ a vai dar 1 . Depois, calculamos o limite que o enunciado nos pede, esboçamos o gráfico da função e calculamos a probabilidade P no intervalo 0 ≤ X ≤ 4 a 0 , usando a fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f ( x ) d x

Vamos lá!

Passo 2

A questão já nos diz que 4 a 0 3 r 2 e - 2 a 0 ≥ 0 para r ≥ 0 . isso significa que ela vai ser sempre maior ou igual a zero para todo r , ou seja:

p r ≥ 0       p a r a   t o d o     r

Agora vamos verificar a segunda condição, calculando a integral:

∫ - ∞ ∞ p r d r

Substituindo p r = 4 a 0 3 r 2 e - 2 a 0 e a condição r ≥ 0 (que representa o intervalo [ 0 ,   ∞ ] ), temos:

∫ 0 ∞ 4 a 0 3 r 2 e - 2 a 0 d r

Isso nos dá uma integral imprópria, que pode ser escrita na forma do limite:

= 4 a 0 3 lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t r 2 e - 2 a 0 d r

Usando integração por partes, um sistema de computação algébrico, (ou dando aquela olhadinha no Exercício 18), a gente tem que:

∫ x 2 e b x d x = e b x b 3 ( b 2 x 2 - 2 b x + 2 )           ( * )

Agora a gente usa ( * ) com b = - 2 a 0 e aplica a regra de L’Hopital para obter:

4 a 0 3 a 0 3 - 8 - 2 = 1

Isso satisfaz a segunda condição para a função ser uma função densidade de probabilidade.

Passo 3

Agora vamos (b) calcular o lim r → ∞ ⁡ p ( r ) para que valor de r da função p ( r ) tenha seu valor máximo:

4 a 0 3 lim r → ∞ ⁡ r 2 e 2 r a 0

Assim, usando L’Hopital, temos que:

4 a 0 3 lim r → ∞ ⁡ 2 r 2 a 0 e 2 r a 0

Simplificando:

2 a 0 2 lim r → ∞ ⁡ 2 r 2 a 0 e 2 r a 0

E calculando o limite, obtemos:

= 0

Para encontrar o máximo de p , nós derivamos a função:

p ' r = 4 a 0 3 r 2 e - 2 r a 0 - 2 a 0 + e - 2 r a 0 2 r

p ' r = 4 a 0 3 e - 2 r a 0 2 r - r a 0 + 1

Igualando a zero, temos:

p ' r = 0  

r = 0  

Ou

1 = r a 0

r = a 0

a 0 ≈ 5.59 × 10 - 11   m

p ' ( r ) muda de positivo para negativo em r = a 0 , então p ( r ) tem um valor máximo em r = a 0 .

Passo 4

(c) É bastante difícil desenhar um retângulo de visualização dessa função, mas como a gente já conhece um ponto máximo, encontrado na parte (b), isso facilita muito!

Assim, temos que:

p a 0 = 4 a 0 3 a 0 2 e - 2 a 0 a 0

p a 0 = 4 a 0 e - 2

p a 0 ≈ 9,684,098,979

Com um máximo perto de 10 milhões, e uma área total sob a curva que vale 1 , representando a probabilidade total, nós sabemos que a “corcunda” dessa curva no gráfico deve ser extremamente limitada.

Assim, obtemos o seguinte esboço:

Passo 5

(d) Calculando a probabilidade, usando a fórmula do passo 1 , temos:

P r = ∫ 0 r 4 a 0 3 s 2 e - 2 s a 0 d s

→ P 4 a 0 = ∫ 0 4 a 0 4 a 0 3 s 2 e - 2 s a 0 d s

Usando o ( * ) da parte (a), com b = - 2 a 0 , temos:

P 4 a 0 = 4 a 0 3 e - 2 s a 0 - 8 a 0 3 4 a 0 2 s 2 + 4 a 0 s + 2 0 4 a 0

Aplicando o intervalo de integração:

P 4 a 0 = 4 a 0 3 a 0 3 - 8 e - 8 64 + 16 + 2 - 1 2

P 4 a 0 = - 1 2 82 e - 8 - 2

E simplificando:

P 4 a 0 =   1 - 41 e - 8

P 4 a 0 ≈ 0.986

Passo 6

(e) Agora para calcular a distância média, vamos usar a fórmula:

μ = ∫ - ∞ ∞ r p r d r

Assim, substituindo os dados da nossa função, temos:

μ = 4 a 0 3 lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t r 3 e - 2 r a 0 d r

Integrando por partes três vezes ou usando algum sistema de computação algébrica, nós temos que :

∫ x 3 e b x d x = e b x b 4 b 3 x 3 - 3 b 2 x 2 + 6 b x - 6

Assim, com b = - 2 a 0 , e usando L’Hopital, nós obtemos:

μ = 4 a 0 3 - a 0 4 16 - 6

μ = 3 2 a 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) A função é uma função densidade de probabilidade.

(b) a 0 ≈ 5.59 × 10 - 11   m

(c) Gráfico

(d) P 4 a 0 ≈ 0.986

(e) μ = 3 2 a 0

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Quais das seguintes integrais são impróprias? Por quê? ∫ 0 π 4 t gxd x ∫ 0 π t gxd x ∫ - ∞ ∞x 2 e - x 2 d x ∫ ∞ ∞ e - x 2 d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule a convergente ∫ 1 ∞ 1 1 + 2 x 3d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 ∞ sin 2 ⁡ αd α
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 ∞ 1 x 4 d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ 0 2 r d r